把相同的物品分给不同对象的分法种数教案

课程名称	课时安排	教学类型	授课对象
数学：把相同的物品分给不同对象的分法种数	45分钟	新授课	高二（普通城市校，中等生为主体，两端分化明显）

教材版本	授课教师	教学主题	课标依据
未指定（通用）	__________	隔板法模型建构与等价转化	《普通高中课程标准（2017年版2020年修订）》中"数学建模、逻辑推理、数学运算、数学抽象"等素养要求

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一、教材分析

本课题属于高中数学计数原理模块中排列组合应用的重要内容，是组合数与方程整数解之间的桥梁。在知识体系上，学生此前已经学习了分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合的基本概念及组合数公式，能够解决基本的"从n个不同元素中取出k个元素"的组合问题。本课题的核心在于把"相同物品分给不同对象"这一实际计数问题抽象为"隔板法"模型，进而转化为组合数计算。它既是对组合数概念的深化应用，又是后续学习二项式定理、概率统计中等可能事件计数的基础。

从教材地位看，本课具有"承上启下"的作用。隔板法能有效沟通"计数原理"与"不定方程整数解"两个知识块，使学生在面对同一计数对象时能自觉选择更简洁、更一般的工具。同时，本课蕴含丰富的数学思想，如类比、转化、数形结合等，帮助学生建立"从具体情境到数学模型再到数学公式"的完整思维链，是培养数学建模素养的典型载体。本课知识在高考中常以选择题、填空题形式出现，属于中等难度、高频考点，学生若能清晰理解隔板法的适用条件与转化技巧，将显著提升解决计数问题的准确率。

教材中一般通过"将n个相同元素分成k份"的实例引入，逐步抽象为"方程 $x_1+x_2+\cdots+x_k=m$ 的正整数解或非负整数解问题"。因此，本课教学不应停留在公式记忆层面，而要让学生经历"直观操作—模型抽象—变式甄别"的完整过程，体会隔板法背后的等价变换思想，从而在遇到"不同物品""允许为空""对象有区别"等变式时能准确迁移。

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二、学情分析

本课授课对象为普通城市校高二学生，班级呈现"两端分化明显、中等生为主体"的特点。经过高一及高二前期的学习，学生已经掌握排列、组合的基本概念和组合数公式，会计算简单的 $\mathrm{C}_n^k$ 值，具备了学习本课的知识基础。同时，高二学生抽象思维趋于成熟，能够进行一定的符号运算与逻辑推理，但面对"相同物品分给不同对象"这类问题时，容易受生活经验干扰，难以自觉将其与组合模型建立联系。

学生可能遇到的主要障碍有三。第一，对"物品相同"与"对象不同"两个条件的理解停留在表面，容易混淆"相同物品"与"不同物品"在计数方式上的本质差异，误将隔板法用于不同物品的分配问题。第二，对"允许有空盒"的转化难以理解，学生往往机械记忆公式，却不知"先借1个再还回去"的等价变形为何可行，导致在"至少一个"与"允许为空"两种情境下错用公式。第三，列举法惯性较强，面对较小数据（如6个苹果分给3人）时愿意逐一列举，但难以体会到"隔板法"的必要性与优越性，造成知识点记忆不牢。

此外，普通城市校学生家庭辅导参差不齐，自主学习能力存在差异。因此，本课在教学过程中需特别注重直观演示与语言转化，利用"画○插板"帮助学生建立表象；练习设计要由浅入深，先做类型判断、再做计算，让中等生"吃得饱"、基础薄弱学生"跟得上"。同时，通过同桌互述、分层作业等方式，兼顾不同层次学生的需求，保持学习动机。

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三、教学目标（核心素养导向）

1. 【对应核心素养：符号意识】知识与技能目标： 通过"小球放入盒子"的具体情境，学生能解释"相同物品分给不同对象"与"不同物品分给不同对象"在计数本质上的区别，并能用自己的话表述隔板法的适用条件和公式结构。

2. 【对应核心素养：运算能力】过程与方法目标： 通过将具体分法问题转化为 $x_1+x_2+\cdots+x_n=m$ 的正整数解（或非负整数解）问题，学生能描述隔板法公式 $\mathrm{C}_{m-1}^{n-1}$ 与 $\mathrm{C}_{m+n-1}^{n-1}$ 的推导过程，并能正确计算简单情形下的分法种数。

3. 【对应核心素养：数感】情感态度与价值观目标： 通过对比"至少一个"与"允许为空"两类问题的转化方式，学生能举例说明"先借后还"（先各放一个再插板）这一等价变形策略的合理性，感受数学转化思想的力量，增强用数学语言描述现实问题的意识。

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四、教学重点与难点

类别	要点
教学重点	① 隔板法的模型建构：将"相同物品分给不同对象"转化为"正整数解或非负整数解的个数"问题；② 正确套用组合数公式 $\mathrm{C}_{m-1}^{n-1}$ 或 $\mathrm{C}_{m+n-1}^{n-1}$。
教学难点	① 对"允许有空盒"情形的转化处理——学生常混淆"至少一个"与"允许为空"两种情况下隔板数的差异，难以理解"先借1个再插板"（先各放一个）的等价变形逻辑；② 忽视"物品必须相同"这一前提，将"不同物品分给不同对象"误用隔板法。

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五、教学资源与准备

教师准备： 多媒体课件（含苹果分装动画、插板过程动态演示）、磁性圆片或圆片贴图若干（用于黑板演示排成一排的苹果）、不同颜色的粉笔（用于区分苹果与隔板）、课堂练习任务单（含3道变式练习与2道错误辨析题）。

学生准备： 草稿纸、笔；复习组合数公式 $\mathrm{C}_n^k$ 的基本计算；回顾分类加法计数原理与分步乘法计数原理；不要求提前预习本课内容，以保持课堂探究的新鲜感。

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六、教学过程（总时长 45 分钟）

环节1：创设情境（激活已有经验，引发认知需求）——5分钟

教师活动： 教师用课件出示生活情境，并提出问题："同学们，这里有6个完全相同的苹果，要分给3个小朋友，每人至少分到1个苹果，一共有多少种不同的分法？注意：苹果是一样的，小朋友是不同的人。先不着急算，请凭直觉猜一猜，并把你的分法写下来。"

学生猜测后，教师追问："大家都觉得不难，那我们来实际列一列。请在你本子上写出所有可能的分法，用（a,b,c）表示三个小朋友分别得到的苹果数，比一比谁写得又快又全。" 教师在教室里巡视，收集学生典型写法。预设学生会出现以下情况：有的只写出(1,1,4)、(1,2,3)、(2,2,2)这三种，认为每人拿到的数量组合就代表分法；有的写出(1,1,4)、(1,4,1)、(4,1,1)、(1,2,3)等，但分不清是否重复；还有的能写出部分但不敢确认是否完整。

教师请两三位学生展示自己的答案，引导学生发现："同样都说是'6个苹果分给3个人'，有人写出3种，有人写出6种，还有人写出10种，到底哪个对？问题出在哪里？" 学生意识到一一列举容易重复或遗漏。教师顺势点明："能否找到一个不重不漏的计数方法？这正是我们今天要研究的课题——把相同的物品分给不同对象的分法种数。" 教师板书课题。

板书要点： 课题：相同的物品 → 不同的对象；例：6个相同苹果→3个小朋友，每人至少1个；问题：分法总数？枚举易漏。

学生活动： 学生先举手猜测，答案五花八门："我猜有3种""我觉得有6种""可能10种吧"。然后独立在草稿纸上列举，尝试用有序三元组表示分法。在列举过程中，有学生只写无顺序的组合（如1,1,4；1,2,3；2,2,2），被教师提醒"小朋友是不同的人"后又补充(1,4,1)、(4,1,1)等；有的学生把(1,2,3)和(3,2,1)都写出来，但不确定是否算同一种。同桌之间开始争论："(1,1,4)和(1,4,1)应该算两种吧？" 学生面对"到底有多少种"产生强烈好奇，有学生忍不住说："老师，这样一个个列太麻烦了，肯定有公式吧？" 教师微笑回应："别急，我们马上就会找到它。"

设计意图： 以生活化情境激活学生已有经验，通过"猜测—列举—矛盾"制造认知冲突，让学生切身体会枚举法的局限性，从而产生建立计数模型的迫切需求。同时，这一环节也自然植入了"相同物品""不同对象""每人至少一个"三个关键条件，为后续隔板法的适用条件埋下伏笔。

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环节2：探究新知（经历概念/法则的形成过程）——15分钟

教师活动： 教师用磁性圆片在黑板上摆出6个○，排成一排，提问："我们把6个苹果排成一排，它们之间有5个空隙。现在我要把这一排苹果分成3份，每份至少1个，需要在这一排中插入几块'隔板'？" 学生回答"2块"。教师演示：在5个空隙中选择2个位置插入隔板，例如在第二个○后和第四个○后插入，变成 ○|○○|○○○ ，对应第一个小朋友1个、第二个2个、第三个3个。

教师进一步追问："任意一种分法，比如(2,1,3)，是不是都能找到唯一的插板位置？反过来，任意选择两个空隙插板，是不是一定对应一种每人至少1个的分法？为什么不能在最左端和最右端插板？为什么不能在同一空隙插入两块板？" 引导学生明确：隔板不能放在两端，否则会出现0个苹果的情况；两块隔板不能放在同一空隙，否则中间一组为0个。因此，6个苹果分给3人，每人至少1个，等价于在5个空隙中选2个位置插入隔板，分法总数为 $\mathrm{C}_5^2=10$。

教师归纳一般规律："若有 $m$ 个相同物品分给 $n$ 个不同对象，每人至少1个，就相当于把 $m$ 个物品排成一排，在 $m-1$ 个空隙中插入 $n-1$ 块隔板，分法总数为 $\mathrm{C}_{m-1}^{n-1}$。" 教师将此公式完整板书，并强调"每块隔板代表一个分界，$n-1$ 块隔板恰好产生 $n$ 份"。

接着教师提出变式："如果允许有人分不到苹果，也就是允许有空盒，又该怎么计数？例如：6个相同苹果分给3个小朋友，允许有人没有，分法有多少种？" 学生一时沉默，教师启发："我们能不能把'允许为空'变成'至少一个'？可以这样想：我们先向每位小朋友借1个苹果，也就是先在每个对象名下预放1个。这样相当于一共有 $6+3=9$ 个苹果要分给3个人，并且每人至少分到1个。分完之后，每个人再把事先预放的那1个'还'给我们，就还原成'允许有人没有'的情形。所以分法数等于9个苹果每人至少1个的分法数，即 $\mathrm{C}_{9-1}^{3-1}=\mathrm{C}_8^2=28$。"

教师再次推广："一般地，$m$ 个相同物品分给 $n$ 个不同对象，允许为空，等价于 $m+n$ 个相同物品分给 $n$ 个对象且每人至少1个，总数为 $\mathrm{C}_{m+n-1}^{n-1}$。" 教师强调"先借后还"只是等价变形的思考工具，不是真的从谁那里借苹果，最终的分法种数没有改变。

板书要点： ○|○○|○○○ ⇔ 分法(1,2,3)；至少一个：$m$ 个物品，$n$ 个对象 → $\mathrm{C}_{m-1}^{n-1}$；允许为空：先借1个 → $m+n$ 个物品每人至少1个 → $\mathrm{C}_{m+n-1}^{n-1}$。

学生活动： 学生专注观察黑板演示，不少学生自己也在纸上画"○"并尝试画竖线分割。当教师问"为什么不能在同一空隙插两块板"时，学生思考后回答："如果两块板插在同一个空隙，中间那一份就是0个苹果，就不满足每人至少1个了。" 学生尝试用铅笔在草稿纸上模拟9个苹果分给3人的情形，有的学生在教师引导下写下 $6+3=9$、$\mathrm{C}_8^2=28$。当教师推广公式时，部分学生面露困惑，教师放慢语速，请一位学生用自己的话解释"为什么要先借1个"，该生说："因为要保证原来可以为空的那个人，在转化后至少得到1个，而这多出的1个正是借来的。" 其他学生听后点头。

设计意图： 本环节遵循"从直观操作到符号抽象"的认知路径，让学生亲历隔板法的发现过程，深刻理解"隔板位置编码分法"的本质。通过"至少一个"到"允许为空"的递进追问，引导学生主动思考等价转化策略，突破本课难点。学生动手画图、动口复述，既加深理解，也为达成"理解"层级目标提供行为证据。

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环节3：变式练习（多角度巩固，防止单一思维定势）——10分钟

教师活动： 教师发放课堂练习任务单，呈现三道递进练习，并强调"先判断类型，再列式，不急着算结果"：

1. 8个相同球放入4个不同盒子，每盒至少1个，有多少种放法？
2. 8个相同球放入4个不同盒子，允许有空盒，有多少种放法？
3. 方程 $x+y+z=10$ 有多少组正整数解？

教师巡视，观察学生判断情况，请两名学生上台板演第1、2题。学生完成后，教师组织讲评：

第1题：物品相同（8个球），对象不同（4个盒子），每盒至少1个，直接套用 $\mathrm{C}_{8-1}^{4-1}=\mathrm{C}_7^3=\dfrac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35$。

第2题：允许为空，等价于 $8+4=12$ 个球分给4个盒子，每盒至少1个，所以为 $\mathrm{C}_{12-1}^{4-1}=\mathrm{C}_{11}^3=165$。

第3题：可以把 $x,y,z$ 看成3个不同的"对象"，把10看成10个相同的"物品"，每个变量取正整数意味着每个对象至少分到1个物品，因此正整数解个数为 $\mathrm{C}_{10-1}^{3-1}=\mathrm{C}_9^2=36$。教师追问："若把第3题改为非负整数解呢？" 学生回答"变量可以取0，等价于允许为空，应为 $\mathrm{C}_{10+3-1}^{3-1}=\mathrm{C}_{12}^2=66$"。教师点评："这里把'解方程'看成'分物品'，是隔板法的经典应用，以后遇到不定方程整数解的计数问题都可以这样想。"

板书要点： 判断流程：①物品相同？②对象不同？——满足后用隔板法；至少一个 → $\mathrm{C}_{m-1}^{n-1}$；允许为空 → 先加 $n$ → $\mathrm{C}_{m+n-1}^{n-1}$。例：$\mathrm{C}_7^3=35$，$\mathrm{C}_{11}^3=165$。

学生活动： 学生独立或与同桌讨论完成三道题。预设典型错误：第2题有学生直接套用 $\mathrm{C}_7^3$，得到35；经同桌提醒"允许有空盒"后，他修正为 $\mathrm{C}_{11}^3$，并说出理由："允许为空时不能直接在8个球的空隙里插板，必须先把空位转化成实位，就是先给每个盒子里预放1个球。" 第3题有学生试图枚举 $(1,1,8)$ 等组合，感到繁琐后放弃，转而接受隔板法。板演学生写公式时出现笔误，将 $\mathrm{C}_{11}^3$ 写作 $\mathrm{C}_{11}^4$，经同伴指正后改正。完成练习后，同桌互相检查判断条件是否遗漏。

设计意图： 三道变式覆盖"至少一个""允许为空""方程整数解"三类典型情境，促使学生从"套公式"走向"辨条件"。通过巡视和板演，教师能即时诊断学生的理解偏差，纠正"看到分东西就用隔板法"的盲目操作，强化模型适用条件，防止思维定势。

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环节4：错误辨析（针对本节课典型易错点）——6分钟

教师活动： 教师用课件展示两个典型错解，组织学生"找茬"。

错解1："6个相同苹果分给3个小朋友，允许有人没有，直接列式 $\mathrm{C}_5^2$。" 教师提问："这个答案对吗？错在哪里？" 学生指出："$\mathrm{C}_5^2$ 是每人至少1个的答案，允许为空时不能直接插板。" 教师追问："那正确的做法是什么？" 学生回答："先向每个小朋友借1个，转化为9个苹果每人至少1个，即 $\mathrm{C}_8^2$。" 教师强调："记住：看到'允许为空'四个字，第一步不是列式，而是先借用'隔板法要求每人至少1个'这一条件，给它预放1个。"

错解2："有6个不同的苹果分给3个小朋友，每人至少1个，用隔板法 $\mathrm{C}_5^2$。" 教师提问："又哪里不对？" 学生思考后回答："隔板法要求物品是相同的，苹果不同时，不能用隔板法。" 教师进一步解释："如果是6个不同苹果分给3个小朋友，且要每人至少1个，这个问题要复杂得多，不能用 $\mathrm{C}_5^2$。如果只问'每个苹果选一个小朋友'，允许有人没有时直接用乘法原理 $3^6$；如果限制每人至少1个，还需要用容斥原理。无论如何，第一步先看物品是否相同。" 教师总结判断口诀："相同物品才插板，不同物品用乘法；至少一个直接插，允许为空先借还。"

板书要点： 错解1：$\mathrm{C}_5^2$ ✗ → 应先借1个 → $\mathrm{C}_8^2$ ✓；错解2：6个不同苹果 → 不能用隔板法 ✗ → 每个苹果有3种去向 → $3^6$ ✓；判断口诀。

学生活动： 学生纷纷举手发言。一位学生说："错解1把'允许为空'和'至少一个'搞混了，我看到题目里'允许有人没有'，就知道不能用 $\mathrm{C}_5^2$。" 另一位学生补充："错解2中苹果如果是不同的，那么第1个苹果和第2个苹果互换是一种新的分法，但隔板法把6个苹果看成一样的，所以不对。" 教师追问"那不同苹果分给3人，允许有人没有是多少种"，学生齐声回答" $3^6$ "。学生将判断口诀抄在课堂笔记上，同桌之间互相举例验证。

设计意图： 针对本课最典型的两个易错点——"允许为空未转化"和"混淆相同与不同物品"，以错解辨析的方式让学生运用刚刚建立的模型进行批判性判断。这种"预防针式"教学能有效降低后续独立作业中的错误率，同时深化学生对隔板法适用前提的理解，提升模型识别与辨析能力。

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环节5：总结提升（建构知识结构，梳理思想方法）——5分钟

教师活动： 教师引导学生回顾本课所学，提问："谁能用自己的话说一说，隔板法解决的是什么问题？使用时要满足哪几个条件？" 学生回答后，教师梳理并板书三条要点：①物品完全相同；②对象各不相同；③每人至少一个（若允许为空，先借1个转化为至少一个）。接着教师请同桌两人互相向对方解释："什么情况下用 $\mathrm{C}_{m-1}^{n-1}$？什么情况下用 $\mathrm{C}_{m+n-1}^{n-1}$？请各举一个例子。" 教师随机请两名学生向全班分享。

教师最后点明思想方法："隔板法的本质是什么？是把一一列举的'分东西'变成'选位置'，把计数问题转化为组合数计算。这体现了数学中的'转化与化归'思想，你们以后再遇到陌生计数问题时，不妨想一想能不能转化为已经学过的模型。" 教师展示思维导图式板书（不画框线，用提纲式布局），帮助学生形成知识结构。

板书要点： 隔板法条件 → ①相同物品 ②不同对象 ③至少一个；公式：至少一个 $\mathrm{C}_{m-1}^{n-1}$；允许为空 → 先借后还 → $\mathrm{C}_{m+n-1}^{n-1}$；核心思想：转化与化归。

学生活动： 学生回顾并用自己的语言归纳。同桌互述时，有学生举例："10个相同面包分给4个人，每人至少1个，就是 $\mathrm{C}_9^3$；如果允许有人不吃，就先借4个，变成14个面包分给4人至少1个，就是 $\mathrm{C}_{13}^3$。" 教师点评："很好，能把公式用生活例子解释，说明真正理解了。" 另一名学生补充："如果面包是不同的，那就是每个面包有4个选择，用乘法原理 $4^{10}$。" 全班交流后，学生完善自己的课堂笔记。

设计意图： 通过"同伴互述"这一理解层级的评价活动，检验学生能否用自己的话解释公式适用条件，实现"能解释、能举例"的目标。引导学生提炼思想方法，帮助其将零散知识结构化，为课后迁移运用夯实基础。

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环节6：作业设计（分层布置，控制时长）——4分钟

教师活动： 教师布置分层作业，并用课件出示题目：

基础题（必做）：① 将7个相同的练习本分给3名同学，每人至少1本，有多少种分法？② 将7个相同的练习本分给3名同学，允许有人分不到，有多少种分法？

提高题（选做）：方程 $a+b+c+d=12$ 有多少组正整数解？若改为非负整数解呢？请说明两次转化过程的差异。

教师解释要求："基础题照抄题目解答，并写出判断过程；提高题学有余力的同学选做，关键是说明转化逻辑。另外，写完作业后，请把你的思路讲给同桌或家长听，看对方能不能听懂。" 教师提醒："作业不是目的，通过作业检验你是否真正理解隔板法的使用条件才是目的。" 学生记录作业。

学生活动： 学生将作业要求记在作业本上。有学生问："老师，提高题里的'非负整数解'是不是包括0？" 教师回答："对，非负整数就是0和正整数。所以'正整数解'对应'每人至少1个'，'非负整数解'对应'允许为空'。" 学生点头。同桌之间互相口头预演了一道基础题的思路，教师巡视听到多组学生表述正确，及时表扬。

设计意图： 分层作业兼顾班级两极分化的学情：基础题保障全体学生掌握核心公式，提高题为学优生提供挑战。控制题量与预估用时，落实"双减"政策中的作业管理要求。同时，"把思路讲给别人听"的作业形式呼应"理解"层级的评价方式，促使学生从"会算"走向"会讲"。

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七、板书设计

板书区域	内容要点
中央主题	把相同的物品分给不同对象的分法种数——隔板法
左分支一	适用条件：①物品相同 ②对象不同 ③每人至少1个
左分支二	至少一个模型：$m$ 个物品，$n$ 个对象 → $\mathrm{C}_{m-1}^{n-1}$
右分支三	允许为空模型：先借1个 → 转化为 $m+n$ 个物品至少1个 → $\mathrm{C}_{m+n-1}^{n-1}$
例题区	例1：6个苹果分给3人，每人至少1个 → $\mathrm{C}_5^2=10$；例2：允许为空 → $\mathrm{C}_8^2=28$
辨析区	错解1：允许为空错用 $\mathrm{C}_5^2$
总结栏	相同物品才插板，不同物品用乘法；至少一个直接插，允许为空先借还

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八、作业设计

基础作业（必做）：

1. 将7个相同的练习本分给3名同学，每人至少1本，有多少种分法？解题时先说明是否符合隔板法的三个条件。 （预估用时：4分钟）
2. 将7个相同的练习本分给3名同学，允许有人分不到，有多少种分法？写出转化过程。 （预估用时：4分钟）

拓展作业（选做）：

1. 方程 $a+b+c+d=12$ 有多少组正整数解？若改为非负整数解呢？请说明两次转化过程的差异，并比较两个答案的大小关系。 （预估用时：6分钟）

合计预估时长：14 分钟（符合"双减"作业管理要求，作业量适当，注重质量而非数量）

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核心公式与定理速查表

序号	公式/定理名称	LaTeX 表达式	适用范围
01	隔板法（至少一个）	$\mathrm{C}_{m-1}^{n-1}$	$m$ 个相同物品分给 $n$ 个不同对象，每人至少1个
02	隔板法（允许为空）	$\mathrm{C}_{m+n-1}^{n-1}$	$m$ 个相同物品分给 $n$ 个不同对象，允许有人分不到
03	方程正整数解	$\mathrm{C}_{m-1}^{n-1}$	方程 $x_1+x_2+\cdots+x_n=m$ 的正整数解个数
04	方程非负整数解	$\mathrm{C}_{m+n-1}^{n-1}$	方程 $x_1+x_2+\cdots+x_n=m$ 的非负整数解个数
05	不同物品分给不同对象	$n^m$	$m$ 个不同物品分给 $n$ 个不同对象，每人所得数不限
06	组合数公式	$\mathrm{C}_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$	从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个元素的组合数

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教学反思模板（课后填写）

1. 目标达成情况：（学生是否达到"理解"层级目标——能否用自己的话解释隔板法适用条件并举例说明）

2. 学生参与情况：（课堂举手指名、同桌互述、板演练习的参与面与表现）

3. 教学调整记录：（如学生初学"先借后还"困难时，是否增加了一次直观演示或追加一个生活类比）

4. 下节课改进方向：（针对学生错解中暴露的薄弱点，设计专门辨析题或进行个别辅导）

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本教案由 BestTeach AI 辅助生成，依据《人工智能生成合成内容标识办法》（国信办通字〔2025〕2号）第四条标识。教师应独立审核修改后使用。