潮汐模型教案

学科： 数学 | 年级： 高三 | 课型： 新授课 | 课时： 45分钟 教材版本： 未指定 | 执教教师： __________ | 日期： __________

课程名称	课时安排	教学类型	授课对象
数学·潮汐模型	45分钟	新授课（讲授式）	高三年级（普通城市校，中等生为主体）

教材版本	授课教师	教学主题	课标依据
未指定	__________	用正弦型函数模型描述并预测潮汐水位变化	普通高中数学课程标准：数学建模、数学运算、数据分析、直观想象

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一、教材分析

"潮汐模型"是三角函数应用中最具代表性的课题之一。在高中函数主线中，学生先学习了三角函数的概念、图象与性质，知道了 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 中各参数对图象的影响；本课将这些知识置于真实港口水位情境中，要求学生从一组实测数据出发，反向确定参数并写出函数解析式，经历"现实情境—数学抽象—函数模型—检验预测"的完整过程。它既是三角函数图象与性质知识的综合运用，也是数学建模素养在高中的一个重要载体。

从知识联系看，本课用到的振幅、周期、相位等概念与函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的图象变换一一对应；而"由数据建模"的思路又为后续学习简谐运动、交变电流等周期现象提供了方法基础。因此本课的地位可以概括为"承前启后"：向前是巩固图象与性质，向后是开启函数模型应用。对高三学生而言，这节课还承担着把零散的三角函数知识整合为解决问题工具的功能，有助于学生构建函数建模的一般思路，提升从实际问题中提取数学信息、用数学语言表达现实规律的能力。

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二、学情分析

普通城市校高三学生，两端分化明显，中等生为主体。就三角函数而言，学生已能较快求出 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的周期、最值，也会用"五点法"画简图；但多数学生面对"只有数据、没有解析式"的问题时，不知道从何处入手。具体障碍有三点：一是对"平衡位置"缺少真实感，以为水位从 0 开始变化，求 $b$ 时出错；二是由周期 $T$ 求角频率 $\omega$ 时，公式方向容易混淆；三是求初相 $\varphi$ 时，不理解相位与横坐标的区别，常直接抓"第一个最高点"的横坐标。

由于家庭辅导参差不齐，部分学生课后缺少及时指导，课堂必须给出足够的直观支撑和规范示范，把中等生可能卡住的每一步拆开，并设置基础与拓展两层作业，让两端学生都有获得感。高三学生目标意识较强，愿意为与实际应用相关的数学问题投入精力，因此情境设计应兼顾真实性与思维价值，语言上把"振幅""初相"等术语与"潮差""高潮时刻"等生活化表达对应起来，降低理解门槛。

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三、教学目标（核心素养导向）

本课重点落实的核心素养：数感、量感、符号意识、运算能力。评价方式：让学生解释给同伴听、概念辨析题、举反例。

1. 【对应核心素养：数感】知识与技能目标： 通过观察潮汐水位数据表与散点图，学生能用自己的话解释潮汐现象中水位随时间变化的周期性规律，并能举例说明周期、振幅在具体情境中的含义。
2. 【对应核心素养：符号意识】过程与方法目标： 通过将潮汐数据转化为 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+b$ 的过程，学生能描述振幅、周期、相位、平衡位置等符号与潮差、潮周期、高潮时刻之间的对应关系。
3. 【对应核心素养：运算能力】情感态度/价值观目标： 通过根据给定潮汐数据求解参数并预测指定时刻水位的练习，学生能区分"已知解析式求值"与"已知数据求解析式"两类问题的不同求解路径，能准确完成相关运算，并能举例说明运算规范对预测结果可靠性的影响。

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四、教学重难点

类别	要点
教学重点	① 建立潮汐水位变化的正弦型函数模型 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+b$ ② 理解 $A$、$T$（$\omega$）、$b$、$\varphi$ 与潮差、潮周期、平均水位、高潮时刻的对应关系，并能由数据确定参数
教学难点	① 由散点数据确定初相 $\varphi$：需先判断取最高点还是最低点，再列方程 $\omega t_0+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi$（或 $-\frac{\pi}{2}+2k\pi$）求解 ② 部分学生易忽略平衡位置 $b$，把平均海平面误当作零水位

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五、教学资源与准备

教师准备： 多媒体课件（含某港口连续 24 小时潮汐水位实测数据表、散点图）；GeoGebra 动态演示文件（可现场调整 $A$、$\omega$、$\varphi$、$b$ 观察曲线变化）；学生学案（含参数探寻表、建模步骤框图、课堂练习题）。

学生准备： 课前复习 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的图象与性质，回顾周期、振幅、初相的定义；准备直尺和科学计算器。

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六、教学过程（总时长 45 分钟）

环节1：创设情境（5分钟）

教师活动： "同学们，很多沿海城市的港口每天都要根据潮汐预报来安排船舶进出港。如果船到了，码头前水深却不够，就可能搁浅。那么，潮汐水位的变化到底有没有规律？能不能用一个数学式子来预测未来某一时刻的水位？今天我们就从一组真实的港口实测数据出发，建立潮汐模型。"

投影"某港口连续 24 小时水位实测记录"： $t=0$ 时 9.5 m，$t=2$ 时 12 m，$t=4$ 时 9.5 m，$t=8$ 时 2 m，$t=14$ 时 12 m，$t=20$ 时 2 m，$t=24$ 时 9.5 m；同时展示对应散点图。

"请先观察，回答三个问题：水位最高是多少米？最低是多少米？相邻两次高潮间隔多少小时？"学生回答后，教师追问："从图像看，这个上下起伏像我们学过的哪个函数？"预设学生答"像正弦曲线"。教师再问："它和标准的 $y=\sin x$ 有什么不同？"学生答"最高到 12，最低到 2，不在 0 附近"。教师总结："所以我们的模型应该既有伸缩又有平移，也就是 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+b$。"

再抛出应用问题："如果一艘货轮要求水位不低于 5 m 才能进港，从图中看大约哪些时间段具备进港条件？"学生看图估计后，教师说："光靠眼睛看不够精确，必须建立一个能算的函数模型。"

板书要点： 课题《潮汐模型》；散点图旁标注 $y_{\max}=12$ m，$y_{\min}=2$ m，$T=12$ h，潮差 $12-2=10$ m。

学生活动： 学生边看数据表边在学案上记录：$y_{\max}=12$，$y_{\min}=2$，相邻高潮间隔 12 小时。有学生说"水位像波浪一样，涨上去又退下来"；有学生说"和 $\sin x$ 的图像像，但整体抬高了，幅度也大了"。当教师问"哪些时间水位高于 5 m"时，学生根据散点图估计"大约 0—4 小时和 12—16 小时"，也有学生质疑"0 到 2 还在涨，2 到 4 在落，都要高于 5"。同桌之间用自己的话把观察到的规律说一遍："水位在 2 米到 12 米之间周期性变化，一个循环 12 小时。"

设计意图： 从真实生活情境切入，激发建模需求；通过看图、读表、估算，让学生直观感受周期与最值，为引入 $A$、$T$、$b$ 等参数做铺垫。

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环节2：探究新知（15分钟）

教师活动： "现在我们把观察到的规律翻译成数学符号。对照散点图，看第一个参数：最高水位 12 m、最低水位 2 m，两者相差多少？这个差值的一半叫什么？"学生答"差 10 m，一半 5 m"。教师板书 $A=5$，强调："$A$ 是振幅，表示偏离平衡位置的最大距离，不是最高水位。"

"再看平衡位置：水位围绕哪一条水平线上下波动？"引导学生由 $\frac{12+2}{2}=7$ 得 $b=7$。

"第三：相邻两次高潮间隔 12 小时，说明周期 $T$ 是多少？角频率 $\omega$ 怎么求？"学生答 $T=12$，由 $T=\frac{2\pi}{\omega}$ 得 $\omega=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$。

"现在模型还剩 $\varphi$。已知 $t=2$ 时达到最高水位，怎么求？"教师示范完整推导：

将 $t=2$，$y=12$ 代入 $y=5\sin\left(\frac{\pi}{6}t+\varphi\right)+7$，得

$$12=5\sin\left(\frac{\pi}{6}\cdot2+\varphi\right)+7$$

即

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=1$$

因为正弦取最大值时相位为 $\frac{\pi}{2}+2k\pi$，所以

$$\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi$$

取 $k=0$，得 $\varphi=\frac{\pi}{6}$。于是得到函数模型：

$$y=5\sin\left(\frac{\pi}{6}t+\frac{\pi}{6}\right)+7$$

"模型对不对，要回到数据检验。请计算 $t=8$ 时的水位。"学生算得 $y=2$ m，与数据吻合。

"现在用模型预测：$t=7$ 时水位是多少？"

$$y=5\sin\left(\frac{7\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)+7=5\sin\frac{4\pi}{3}+7=7-\frac{5\sqrt{3}}{2}\approx2.67\text{ m}$$

教师提醒：$\frac{4\pi}{3}$ 在第三象限，正弦值为负，所以结果为 2.67 m，接近低潮。

板书要点： 参数探寻表：$A=5$、$b=7$、$T=12$、$\omega=\frac{\pi}{6}$；求 $\varphi$ 的方程；最终模型为 $y=5\sin\left(\frac{\pi}{6}t+\frac{\pi}{6}\right)+7$；检验 $t=8$ 得 $y=2$。

学生活动： 学生在学案上跟随教师逐项计算，先写出 $A=\frac{12-2}{2}=5$，$b=\frac{12+2}{2}=7$，$T=12$，$\omega=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$。求 $\varphi$ 时，同桌讨论"为什么 $\frac{\pi}{3}+\varphi$ 要等于 $\frac{\pi}{2}$"，有学生回答"因为最高点时 $\sin$ 取最大值 1，而 $\sin$ 在 $\frac{\pi}{2}$ 处取最大值"。教师追问"还可以等于什么"，有学生补充"还可以等于 $\frac{5\pi}{2}$，但取最简单的 $\frac{\pi}{2}$ 就行"。独立计算 $t=8$ 和 $t=7$ 时，有学生把 $\sin\frac{4\pi}{3}$ 算成 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，同桌纠正："第三象限正弦为负，应是 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$。"

设计意图： 让学生完整经历"数据→图像→解析式→检验→预测"的建模链条；通过四个参数逐层追问，把抽象符号与具体潮汐特征一一对应，突破由数据求解析式的核心方法。

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环节3：变式练习（10分钟）

教师活动： "第一组数据中，我们已知 $t=2$ 是高潮。现在换一组数据，请独立完成建模：某海域高潮水位 11 米，低潮水位 1 米，相邻两次高潮间隔 12 小时，凌晨 0 点恰好是低潮。要求：先写出 $y$ 关于 $t$ 的解析式，再求 $t=9$ 时的水位。"

"先不急于动笔，口答第一步、第二步分别做什么？"请中等水平学生板演，其余学生在学案上完成。完整解答如下：

$$A=\frac{11-1}{2}=5,\qquad b=\frac{11+1}{2}=6$$ $$T=12,\qquad \omega=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$$

设

$$y=5\sin\left(\frac{\pi}{6}t+\varphi\right)+6$$

因为 $t=0$ 时低潮，$y=1$，代入得

$$1=5\sin\varphi+6$$

即 $\sin\varphi=-1$，取 $\varphi=-\frac{\pi}{2}$。故

$$y=5\sin\left(\frac{\pi}{6}t-\frac{\pi}{2}\right)+6$$

当 $t=9$ 时，

$$y=5\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)+6=5\sin\pi+6=6\text{ m}$$

追问："求 $\varphi$ 时，这道题与第一道题有什么不同？"学生答"第一道用最高点，$\sin=1$；这道用最低点，$\sin=-1$"。再追问："不看计算，怎样判断 $t=3$ 时水位大约是多少？"学生回答"从低潮到高潮用 6 小时，$t=3$ 正好一半，应该在平均水位 6 m"。教师代入 $t=3$ 验证得 6 m。

板书要点： 第二组数据完整板书：$A=5$、$b=6$、$\omega=\frac{\pi}{6}$、$\varphi=-\frac{\pi}{2}$；$t=9$ 时 $y=6$ m；关键差异"最低点求 $\varphi$，令 $\sin=-1$"。

学生活动： 学生独立完成后对照板演互批。有学生直接照抄第一组的 $\varphi=\frac{\pi}{6}$，代入 $t=0$ 得 $y=5\times\frac{1}{2}+6=8.5$ m，与实际低潮 1 m 不符，检查后改正。有学生由 $\sin\varphi=-1$ 取 $\varphi=\frac{3\pi}{2}$，教师点评"$\varphi=-\frac{\pi}{2}$ 与 $\frac{3\pi}{2}$ 相差 $2\pi$，对应同一函数，取常用值即可"。同桌互查时，一位学生问："为什么 $b=6$ 不是 1？"另一人回答："1 是低潮水位，$b$ 是平均水位，等于最高和最低加起来除以 2。"

设计意图： 变换数据，防止学生机械套用第一组参数；通过板演、互查和代值验证，巩固建模流程，提高运算准确性。

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环节4：错误辨析（6分钟）

教师活动： "下面是作业中常见的三种错误，请你们当小老师，指出错在哪、怎么改。"

投影错误一：$y=5\sin\left(\frac{\pi}{6}t+\frac{\pi}{6}\right)$，漏掉了 $+7$。"这个函数最大值是多少？能到 12 吗？"学生算最大只有 5，教师强调："$b$ 是把正弦曲线抬到平均海平面的关键，不能丢。"

投影错误二：已知周期 12 h，写成 $\omega=\frac{12}{2\pi}$。"$T$ 和 $\omega$ 的正确关系是什么？"学生默写 $T=\frac{2\pi}{\omega}$，教师提醒"周期越大角频率越小，12 小时对应的是 $\frac{\pi}{6}$，不是 1.91"。

投影错误三：看到第一个最高点在 $t=2$，直接把 $\varphi$ 写成 2。"$\varphi$ 表示的是 $t=0$ 时的相位，还是最高点横坐标？"学生答"相位"。正确做法是列方程 $\frac{\pi}{6}\times2+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，再求 $\varphi$。

最后做概念辨析判断："①振幅就是最高水位；②周期是相邻两次高潮间隔的一半；③初相取 $\frac{\pi}{6}$ 与取 $\frac{\pi}{6}+2\pi$ 表示同一个函数。请判断正误并说明理由。"学生用反例说明①②错、③对。

板书要点： 三类错误关键词：漏 $b$、$\omega$ 与 $T$ 颠倒、$\varphi$ 误为横坐标；正确关系式 $\omega=\frac{2\pi}{T}$；求 $\varphi$ 须列方程。

学生活动： 学生逐题判断并口述理由。看到错误一，有学生说："最大值只有 5 米，比最低水位 2 米还小，不可能。"看到错误二，有学生把 $T=\frac{2\pi}{\omega}$ 和 $\omega=\frac{T}{2\pi}$ 混淆，经同桌提醒改成 $\omega=\frac{2\pi}{T}$。看到错误三，有学生说："最高点在 $t=2$，说明 $\sin$ 在 $t=2$ 时取最大值，不是 $\varphi$ 等于 2。"判断题中，学生举例"第一组数据最高水位 12 米，而 $A=5$，所以振幅不是最高水位"；对③，学生说明相位差 $2\pi$ 时正弦函数图像重合。

设计意图： 用典型错误制造认知冲突，把易错点转化为判断任务；通过"错在哪里—正确做法—举反例说明"三步，强化参数求解的规范步骤。

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环节5：总结提升（5分钟）

教师活动： "到这里，我们已经把潮汐数据变成了一个可预测的解析式。请一位同学说一说：如果给你一组新的潮汐数据，你会按怎样的顺序求出解析式？"

学生边答，教师边板书"潮汐建模五步法"： ①收集数据；②画散点图，读出最高、最低与周期；③求 $A$ 与 $b$；④由 $T$ 求 $\omega$；⑤选高潮或低潮点代入求 $\varphi$，并检验。

"每一步对应什么实际意义？$A$ 是什么？$b$ 是什么？$\varphi$ 起什么作用？"抽查学生回答。"为什么要检验？"学生答"解析式可能算错，代回已知数据能发现错误"。

"今天的方法不仅适用于潮汐，凡具有周期性的自然现象——月相变化、昼夜长短、交流电——都可以尝试用正弦型函数描述。核心思路是：先看图，再定参，后验证。"

"请同桌互相用一句话概括建模五步法，说给彼此听。"

板书要点： 潮汐建模五步法：收集数据→画散点图→求 $A$、$b$→求 $T$ 得 $\omega$→定 $\varphi$ 并检验；口诀"先看图、再定参、后验证"。

学生活动： 学生用自己的话复述五步法。预设学生甲："先把数据画成图，看最高最低算 $A$ 和 $b$，看两次高潮间隔算 $T$，再用高潮或低潮的时刻求 $\varphi$，最后代回检验。"学生乙补充："求 $\varphi$ 时要分清用的是最高点还是最低点，最高点让 $\sin$ 等于 1，最低点让 $\sin$ 等于 $-1$。"教师抽问时，有学生说："模型求出的 $t=7$ 水位约 2.67 m，和散点图上 8 时低潮 2 m 是连贯的，说明模型可信。"

设计意图： 把零散知识提炼成可迁移的五步法，帮助中等生形成清晰的解题路径；同伴互述对应"能用自己的话表述"的评价目标。

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环节6：作业设计（4分钟）

教师活动： "今天的作业分两层。基础题每位同学都做，完成后还要做一件事：把第（1）小题中 $3$、$\frac{\pi}{6}$、$-\frac{\pi}{2}$、$5$ 各表示什么，讲给同桌听，讲不清楚的地方就是还没理解的地方。拓展题选做，有兴趣的同学可以试试，明天请做对的同学分享思路。"

投影作业题目（见第八节），教师口头示范检查方法："比如已知 $y=3\sin\left(\frac{\pi}{6}t-\frac{\pi}{2}\right)+5$，想判断 $t=8$ 时水位能否高于 4 m，先算相位 $\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{6}$，$\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12$，所以 $y=3\times\frac12+5=6.5$ m。这就是'代入—算相位—求值—判断'。"

"作业量不大，关键是每一步都要能说出为什么。求 $\omega$ 时，先问自己：周期是多少？用 $\omega=\frac{2\pi}{T}$，还是 $T=\frac{2\pi}{\omega}$？"预告下节课："已知解析式之后，如何判断一条船能否进港、能停多长时间？这是下节课的问题。"

板书要点： 基础题：参数含义＋$t=2$ 求值；拓展题：由高、低潮建模并预测；书写规范"设—列—解—答"。

学生活动： 学生记录作业并当堂思考。有学生问："基础题第（3）问 $t=10$ 时水位约 3.5 m，低于 4.5 m，是不是就不能进港？"教师答"对，这就是模型的用途之一"。有学生问拓展题："凌晨 0 点刚好高潮，列式时是不是让 $\sin$ 等于 1？"教师肯定并提示先写出周期和平衡位置。同桌之间已有人开始讨论："如果下节课给一个吃水深度，是不是解不等式就行？"

设计意图： 分层布置控制总量，用"讲给同桌听"落实理解目标；下节课预告让知识链完整。

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七、板书设计

板书区域	内容要点
中央主题	潮汐模型 —— $y=A\sin(\omega x+\varphi)+b$
左分支	参数意义：$A$—振幅（潮差一半）；$T$—潮周期；$b$—平衡位置（平均水位）；$\varphi$—初相
右分支	建模五步：收集数据→画散点图→求 $A$、$b$→求 $T$ 得 $\omega$→定 $\varphi$ 并检验
中间示例	例：$A=5$，$T=12$，$\omega=\frac{\pi}{6}$，$b=7$；由 $t=2$ 最高点解得 $\varphi=\frac{\pi}{6}$
易错提醒	① 平衡位置 $b\neq0$ ② $\omega=\frac{2\pi}{T}$ ③ $\varphi$ 是相位，不是最高点横坐标
总结栏	数据→模型→预测；核心口诀：先看图、再定参、后验证

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八、作业设计

双减合规：作业量适当，关注学生整体学业负担，提升作业质量而非数量。分层设计，基础必做、拓展选做。

基础作业（必做）：

1. 已知某港口潮汐水位满足 $y=3\sin\left(\frac{\pi}{6}t-\frac{\pi}{2}\right)+5$（$t$ 单位：小时，$y$ 单位：米）。 （1）用自己的话说出式中 $3$、$\frac{\pi}{6}$、$-\frac{\pi}{2}$、$5$ 分别表示什么，明天讲给同桌听； （2）计算 $t=2$ 时的水位； （3）若某货轮要求水位不低于 4.5 m 才能进港，判断 $t=10$ 时该船能否进港，并说明理由。 （预估用时：10 分钟）

拓展作业（选做）：

1. 某海域高潮水位 8 m、低潮水位 2 m，相邻两次高潮间隔 12 小时，凌晨 0 点恰好为高潮时刻。 （1）建立水位 $y$（单位：m）关于时间 $t$（单位：h）的函数模型； （2）预测上午 9 时的水位； （3）请举一个反例说明"振幅就是最高水位"这个说法是错误的。 （预估用时：8 分钟）

合计预估时长：18 分钟

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九、核心公式速查

序号	公式/定理名称	LaTeX 表达式	适用范围
01	正弦型函数一般式	$y=A\sin(\omega x+\varphi)+b$	潮汐、简谐运动等周期现象建模
02	振幅公式	$A=\dfrac{y_{\max}-y_{\min}}{2}$	由最高、最低水位求振幅
03	平衡位置公式	$b=\dfrac{y_{\max}+y_{\min}}{2}$	由最高、最低水位求平均水位
04	周期与角频率关系	$T=\dfrac{2\pi}{\omega}$，即 $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$	已知周期求角频率
05	高潮条件	$\omega t_0+\varphi=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$	已知高潮时刻 $t_0$ 求初相
06	低潮条件	$\omega t_0+\varphi=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$	已知低潮时刻 $t_0$ 求初相
07	水位预测求值	$y(t_1)=A\sin(\omega t_1+\varphi)+b$	已知解析式，求指定时刻水位

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教学反思模板（课后填写）

1. 目标达成情况：（学生是否能用自己的话解释周期、振幅与 $A$、$T$、$b$、$\varphi$ 的对应关系）
2. 学生参与情况：（中等生能否独立完成第二组数据建模；哪些学生仍卡在求 $\varphi$ 环节）
3. 教学调整记录：（预设与实际情况的差距，例题数据是否需要更换）
4. 下节课改进方向：（是否需要在"已知解析式判断船舶能否进港"中补充解不等式训练）

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本教案由 BestTeach AI 辅助生成，依据《人工智能生成合成内容标识办法》（国信办通字〔2025〕2号）第四条标识。教师应独立审核修改后使用。