正比例教案

课程名称	课时安排	教学类型	授课对象
数学·正比例	40分钟	新授课	六年级（普通城市校学生，中等生为主体）

教材版本	授课教师	教学主题	课标依据
未指定（通用）	__________	正比例概念的建构与判断	《义务教育数学课程标准（2022年版）》对应的数感、符号意识、运算能力等核心素养

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一、教材分析

“正比例”是小学六年级“比例”知识领域中的一个核心概念，也是学生第一次正式接触“两种相关联的量之间的规律性变化”这一重要数学思想。从知识纵向联系看，学生在前期已经学习了比的意义、比的基本性质、求比值以及“单价×数量=总价”“速度×时间=路程”等常见数量关系；这些内容都是本课概念学习的直接基础。本课通过具体的购物情境，引导学生从“一个量变化，另一个量也随着变化”的现象出发，再深入到“两个量的比值一定”这一本质特征，进而抽象出正比例的定义与字母表达式 $\frac{y}{x}=k$（一定）。这一过程既沟通了除法、分数、比与比例之间的内在联系，也为后续学习反比例、正比例图像乃至初中阶段的函数概念奠定了重要的经验基础。

从课标理念看，2022年版课标强调让学生在真实情境中经历概念的形成过程，发展初步的模型意识和符号意识。因此，本课不应停留在“记住定义、套用式子”的机械层面，而应引导学生在观察、计算、比较、归纳中主动发现规律。教材通常把本课放在“比例”单元的开篇位置，发挥着承上启下的作用：上承比的运算与常见数量关系，下启反比例的理解与应用。教学中要把握两个关键：一是帮助学生理解“相关联的量”，二是帮助学生把握“比值一定”这一判断本质，两者缺一不可。

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二、学情分析

六年级学生处于小学高年级，抽象逻辑思维已经明显增强，能够进行简单的归纳和推理，但正比例概念对学生而言属于首次正式学习。普通城市校学生的家庭辅导参差不齐，学习基础与学习习惯存在一定差异，班级内往往呈现“两端分化、中等生为主体”的格局。大多数学生对于“单价×数量=总价”“速度×时间=路程”这类数量关系比较熟悉，能够熟练进行除法求比值，这为本课的学习提供了有利条件。

但学生的认知障碍也不容忽视。其一，学生容易被“一个量增加，另一个量也增加”“一个量减少，另一个量也减少”的表面现象迷惑，忽略“比值必须一定”这一本质条件，从而把“已看页数与未看页数”这类“和一定”的情况误判为正比例。其二，学生对“相关联”这一前提缺乏自觉意识，不清楚为什么必须先判断两种量是否相关联，个别学生甚至认为“只要有两个量在变就是正比例”。其三，中等生和学困生在进行说理时往往只讲结论不讲依据，不能用“因为比值一定，所以成正比例”这样的句式完整表达。

因此，教学策略上要平衡抽象与直观：用具体的价格表、数据计算和生活化语言帮助学生理解；设计“说给同伴听”“举反例说明”等表达活动，让中等生在与同伴的交流中逐步完善概念；同时设置基础与拓展两级学习任务，照顾两端学生的不同需要，维持学习动机。概念建构过程中不宜过早进入大量机械练习，要留给学生充分的观察、计算和讨论时间。

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三、教学目标（核心素养导向）

1. 【对应核心素养：数感】知识与技能目标： 通过观察“彩带商店”中数量与总价的变化数据，学生能用自己的话解释“一种量变化，另一种量也随着变化”的关联现象，并能举例说明生活中类似的两个相关联的量。（本课借助具体数量数据的同步变化比较，帮助学生建立对数量比例关系的直观敏感度，落实数感素养）

2. 【对应核心素养：符号意识】过程与方法目标： 通过列表、计算比值和归纳概括，学生能用字母或式子描述“$\frac{总价}{数量}=单价$（一定）”的规律，能用自己的话表述“比值一定”这一正比例的本质特征。（本课用 $\frac{y}{x}=k$（一定）概括数量关系，经历从具体数据到符号表达的过程，落实符号意识素养）

3. 【对应核心素养：运算能力】情感态度/价值观目标： 通过对比多组数据和辨析典型错例，学生能区分“比值一定”与“和一定、差一定”等不同变化规律，能举例说明正比例关系与反例的区别，并愿意向同伴解释自己的判断理由。（本课以除法求比值作为判断依据，在运算与说理中养成有理有据的思考习惯，落实运算能力素养）

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四、教学重难点

类别	要点
教学重点	①理解正比例的意义，能用自己的话描述“比值（商）一定”这一本质特征。 ②运用“先看是否相关联，再看比值是否一定”的方法判断两种量是否成正比例关系。
教学难点	①突破“一个量增加、另一个量也增加”的表面现象，抓住“比值（商）一定”这一本质条件。 ②区分“和一定”与“比值一定”，避免把“已看页数与未看页数”这类量误判成正比例。

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五、教学资源与准备

教师准备：

• 多媒体课件：含“彩带商店”情境图、数量与总价统计表、三组变式练习、典型错例卡片。
• 磁性板书贴片：“相关联的量”“比值一定”“成正比例”“$\frac{y}{x}=k$（一定）”等关键词。
• 学习单：每人一份，含数据表格、比值计算栏和判断题组。

学生准备：

• 课前回顾求比值的方法（如 $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$）。
• 课堂练习本、铅笔、橡皮。

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六、教学过程（总时长40分钟）

环节1：创设情境（5分钟）

教师活动：

教师出示“彩带商店”情境图，同时呈现价格表：购买彩带数量1米、2米、3米、4米、5米、6米，对应总价分别为3.5元、7元、10.5元、14元、17.5元、21元。教师提问：“同学们，老师想买一些彩带布置教室。请仔细观察这张表，你发现了什么？同桌先互相说一说。”学生自由发言后，教师追问：“总价是怎样随着数量变化的？如果数量从1米变成2米，扩大到原来的2倍，总价从3.5元变成7元，是不是也扩大到原来的2倍？请大家口算验证一下。”学生确认后，教师继续追问：“数量从2米变成6米，扩大到原来的3倍，总价从7元变成21元，总价也扩大了3倍，对吗？”学生通过计算表示同意。教师顺势引导：“像这样，数量在变化，总价也跟着变化，我们就说数量与总价是两种相关联的量。用生活的话说，它们就像一对形影不离的好朋友，一个变了，另一个也跟着变。”随后请学生举例：“生活中还有没有这样的两种量？一个变了，另一个也随着变？”（预设：走路时间变长，路程也变长；买苹果的千克数变多，总价也变多。）

完整推导示例（口算验证）：数量从1米增加到2米，$2 \div 1 = 2$，数量扩大到原来的2倍；总价从3.5元增加到7元，$7 \div 3.5 = 2$，总价也扩大到原来的2倍。由此直观看出两种量同步变化。

板书要点：数量与总价 → 相关联的量（一个变，另一个也随着变）。

学生活动：

学生观察表格后同桌互说，汇报：“我发现买得越多，需要的钱越多。”“1米3.5元，2米7元，3米10.5元，每增加1米总价就增加3.5元。”在教师追问下，学生口算验证：$2 \div 1 = 2$，$7 \div 3.5 = 2$，发现数量变几倍，总价也变几倍。学生尝试举例：“上学时，走的路程越长，用的时间也越长。”“手机看得越久，耗电越多。”个别学生把“相关联”理解为“有关系”，教师引导纠正为“一种量变化，另一种量也随着变化”。

设计意图：

通过“彩带商店”这一真实购物情境，激活学生已有的“单价×数量=总价”生活经验，自然引出“两种量同时变化”的现象。用“一个变，另一个也跟着变”的生活化语言帮助学生建立“相关联”的直观理解，为后续抽象出正比例定义做好铺垫。数字选择3.5元等常见价格，便于口算，降低普通城市校中等生的入门门槛。

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环节2：探究新知（15分钟）

教师活动：

教师发放学习单，出示数量与总价完整统计表：数量（米）为1、2、3、4、5、6，总价（元）为3.5、7、10.5、14、17.5、21。提问：“请同学们用总价除以数量，算出每一组的比值，并把结果填在学习单的表格里。算完后与同桌说一说你发现了什么。”学生独立计算时，教师巡视，重点指导有困难的学生列除法算式。随后请一名中等生汇报：“我算出来每一组的结果都是3.5。”教师板书算式：$3.5 \div 1 = 3.5$，$7 \div 2 = 3.5$，$10.5 \div 3 = 3.5$，$14 \div 4 = 3.5$，$17.5 \div 5 = 3.5$，$21 \div 6 = 3.5$。

教师追问：“每一次的比值都是多少？这个比值表示什么？”学生回答：“表示彩带每米的单价。”教师接着问：“如果我们继续买下去，买10米要35元，$35 \div 10$ 等于多少？”学生回答：“还是3.5。”教师引导概括：“总价除以数量的商始终不变，我们就说总价与数量的比值一定。”

随后，教师出示正比例定义（课件展示，并配合板书贴片）：“像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。”教师请学生同桌之间用自己的话复述定义，并圈出定义中的关键词。接着给出符号化表达：“如果用字母 $x$ 和 $y$ 表示两种相关联的量，用 $k$ 表示它们的比值，正比例关系可以写成 $\frac{y}{x}=k$（一定）。”教师板书并解释：“k是一个固定的数，不能变化。”

完整推导示例：以“数量2米、总价7元”为例，$7 \div 2 = 3.5$；以“数量5米、总价17.5元”为例，$17.5 \div 5 = 3.5$；两组数据的商相等，说明单价一定，因此总价与数量成正比例关系。

板书要点：总价÷数量=单价（一定）→ 成正比例；字母式：$\frac{y}{x}=k$（一定）。

学生活动：

学生独立计算6组总价与数量的比值，多数能快速得出商都是3.5，并汇报：“总价÷数量=3.5，也就是彩带的单价。”在教师引导下，学生用自己的话复述定义：“两种量要有关联，一种变另一种也跟着变，而且它们相除的商是一样的。”有学生举例：“汽车行驶的路程和时间成正比例，因为速度不变，路程÷时间=速度，比值一定。”还有学生说：“买苹果时，总价和质量成正比例，因为每千克苹果的价格一定。”教师在肯定后追问：“为什么判断时要看比值，而不是看差？”学生一时说不清，出现认知冲突。教师提示：“带着这个问题继续往下学，我们会在后面的辨析中找到答案。”

设计意图：

本环节是概念建构的核心。通过“算一算、比一比、说一说”，让学生亲身经历从具体数据到数学表达的抽象过程。总价与数量的比值恰好是单价，这一直观意义帮助学生理解“比值一定”的具体含义，避免死记硬背。在充分感知的基础上再给出规范定义和字母表达式，使学生在理解意义的同时体会符号表达的简洁性，发展数感与符号意识。

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环节3：变式练习（8分钟）

教师活动：

教师出示三组判断材料，要求学生先独立判断，再同桌说理：

1. 正方形的周长与边长。
2. 一本书的总页数一定，已看页数与未看页数。
3. 每袋大米质量一定，大米总质量与袋数。

教师提问：“同学们，判断两种量是否成正比例，你觉得关键的检查步骤是什么？”引导学生用“比值是否一定”作为判断标准。随后请三位学生上台板演并说理，教师逐一点评。

完整解答示例：

• 第①题：正方形周长 $\div$ 边长 $= 4$，比值4固定不变，所以正方形的周长与边长成正比例。算式：$C \div a = 4$（一定）。
• 第②题：已看页数 $+$ 未看页数 $=$ 总页数（一定），这是“和一定”，而不是“比值一定”，所以已看页数与未看页数不成正比例。
• 第③题：总质量 $\div$ 袋数 $=$ 每袋大米质量（一定），所以大米总质量与袋数成正比例。例如 $10 \div 1 = 10$，$20 \div 2 = 10$，比值一定。

教师强调：“第③题中的‘每袋大米质量一定’正是我们判断的依据，它告诉我们商是固定的。”如果学生对第②题有分歧，教师组织全班用手势“对勾/叉号”表决，再请学生说明理由。

板书要点：判断标准：①两种量相关联；②比值（商）一定。示例：$C \div a=4$（一定）→ 正比例；已看+未看=总页数（和一定）→ 不成正比例。

学生活动：

学生独立判断并写出理由。预设回答：“正方形的周长÷边长=4，比值都是4，所以成正比例。”“大米总质量÷袋数=每袋质量，每袋质量是一定的，所以成正比例，比如10÷1=10、20÷2=10，商不变。”“已看页数和未看页数虽然一个增加一个减少，但它们的商不是一定，比如已看1页剩99页，1÷99不同，所以不成。”个别学生仍认为“两个量都在变化，所以是正比例”，教师引导用“能不能写出一个固定不变的算式”进行自我检查。

设计意图：

三组变式覆盖“同向变化成正比例”“反向变化不成”“同向变化但关联方式不同”等情况，防止学生形成“同时变大就是正比例”的单一思维定势。第②题提前暴露“和一定”的典型混淆点，为下一环节的专项辨析作铺垫。通过“判断+说理”，让学生把判断标准用语言表达出来，加深理解。

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环节4：错误辨析（6分钟）

教师活动：

教师出示典型错例：“小明说：我在看书时，已看页数在增加，未看页数在减少，它们随着看书过程同时变化，所以已看页数和未看页数一定成正比例。”教师提问：“你同意小明的说法吗？如果不同意，请找出他错在哪里。”组织同桌讨论30秒后，请学生代表发言。

教师在学生回答基础上总结：“小明的错误在于只看到两个量在变化，却忽略了判断正比例不但要看两种量是否相关联，更要看它们的比值是否一定。已看页数和未看页数加起来等于总页数，和是一定的，不是比值一定，所以不成正比例。”

教师继续出示第二个易错情境：“正方形的边长和面积成正比例吗？”请学生用数据验证。

完整推导示例：

• 边长2厘米，面积4平方厘米，$4 \div 2 = 2$；
• 边长3厘米，面积9平方厘米，$9 \div 3 = 3$；
• 边长4厘米，面积16平方厘米，$16 \div 4 = 4$；

面积与边长的商分别是2、3、4，不固定，所以正方形的面积与边长不成正比例。

教师追问：“谁能再举一个表面看起来在同步增长，但实际不成正比例的例子？”（预设：小明的年龄与身高、班级人数与桌椅数量等。）

板书要点：反例特征：和一定或比值不一定 → 不成正比例。例：边长与面积比值分别为2、3、4 → 不成。

学生活动：

学生讨论后预设回答：“我不同意。已看页数加未看页数等于总页数，是‘和一定’，不是‘比值一定’。”“虽然两个量都在变，但判断正比例要看比值，它们没有一个固定不变的商。”对于“正方形的边长和面积”，学生计算发现：面积÷边长的结果每次都不一样，因此不成正比例。有学生主动举例：“一个人年龄越大，身高越高，但年龄÷身高的商不是固定的，所以不成正比例。”在教师引导下，学生修正了自己之前的模糊想法：表面同步变化只是必要条件，关键是“商一定”。

设计意图：

这一环节直指本课最高频的认知误区。通过与“和一定”的对比辨析，学生能直观感受到正比例独有的“比值一定”特征，避免把表面同步变化当作本质。用“边长与面积”的数据验证，进一步打破“增长就成正比例”的思维定势。概念辨析比单纯记忆定义更能促进理解层级目标的达成。

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环节5：总结提升（4分钟）

教师活动：

教师引导学生回顾全课：“我们已经认识了正比例，现在来回顾一下，判断两种量是否成正比例，到底需要看哪几步？先自己想一想，再说给同桌听。”学生讨论后，教师请学生汇报，逐步梳理判断流程：第一步，看两种量是否相关联；第二步，看一种量变化时，另一种量是否也随着变化；第三步，计算相对应的两个数的比值，看比值是否一定。

教师板书判断步骤后，再次提问：“如果用字母 $x$ 和 $y$ 表示两种相关联的量，用 $k$ 表示它们的比值，正比例关系可以怎样表示？”学生回答 $\frac{y}{x}=k$（一定）。教师追问：“这里的 $k$ 表示什么？为什么它必须保持不变？”引导学生说出“$k$ 是两种量的商，商不变，它们才始终按同一个倍数变化”。

完整回顾示例：汽车速度一定时，1小时行80千米，$80 \div 1 = 80$；2小时行160千米，$160 \div 2 = 80$；速度不变，所以路程与时间成正比例。

教师把板书中的关键词圈起来，总结：“正比例就是‘相关联+比值一定’。在判断时，变化方向只是表面现象，关键要看‘商’是不是保持不变。”最后同桌互相检查，一位说判断方法，另一位举例验证。

板书要点：判断三步：①相关联；②同变化；③比值一定。核心式：$\frac{y}{x}=k$（一定）。总结语：正比例 = 相关联 + 比值一定。

学生活动：

学生在教师引导下用自己的话总结判断步骤，并在练习本上写出字母式。预设回答：“先看是不是相关联的量，再看它们的商是不是一定。”“k就是两个数相除得到的那个结果，不能变。”“我觉得判断时要把两个量的变化方向放在一边，关键是算出每组的商。”学生同桌互查时，能举例说明：“每支笔2元，买1支2元、买2支4元、买3支6元，总价÷支数=2，所以成正比例。”

设计意图：

把本课零散的经验结构化，明确正比例概念的三要素，尤其是将“比值一定”提升为判断核心。字母表达式进一步渗透函数思想，为后续学习反比例和正比例图像打下基础。学生通过“互说互查”的同伴互动，既巩固概念，又锻炼用自己的话表达数学规律的能力。

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环节6：作业设计（2分钟）

教师活动：

教师通过投影说明作业要求：“今天的作业有两层，大家注意听要求。基础题是必做，判断圆的周长与直径、小明的年龄与身高、每箱苹果质量一定时苹果总质量与箱数这三组量是否成正比例关系，并且要写出理由。不能只写‘是’或‘不是’，要把算式和理由写完整，比如根据哪个公式来判断。第②题请特别想一想，年龄和身高的比会不会随着时间变化。”

教师给出第③题的完整示范：“每箱苹果质量一定，假设每箱10千克，1箱总质量10千克，$10 \div 1 = 10$；2箱总质量20千克，$20 \div 2 = 10$；3箱总质量30千克，$30 \div 3 = 10$；商都是每箱质量，保持不变，所以总质量与箱数成正比例。”

接着说明拓展题：“提高题是选做，从生活中找一个成正比例关系的量，用表格记录3组数据，并写一段话向同伴解释为什么它们成正比例。明天我们请几位同学当‘小老师’讲给大家听，看谁说得清楚又有说服力。”最后提醒书写格式：“可以用‘因为……所以……’的句式，也可以列算式加文字说明。”

板书要点：基础——判断+理由；提高——举例+数据+说明。

学生活动：

学生记录作业要求，明确基础题必须写出判断理由。有学生问：“圆的周长除以直径等于多少？”教师回答：“这正是你回家要算一算的，算完你就能写出理由了。”学生理解拓展题需要收集生活中的数据并准备向同伴解释。个别学生提出：“我可以说买水时水的瓶数和总价吗？”教师肯定并提示：“只要你能写出比值一定的算式就可以。”

设计意图：

作业设计落实“双减”要求，书面总用时控制在10分钟以内，不增加学生课业负担。基础题覆盖本课判断标准，让所有学生巩固“用比值说理”；拓展题鼓励学生用数学眼光观察生活，给学有余力的学生提供表达与创造的空间。评价方式强调“解释给同伴听”，与理解层级目标一致。

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七、板书设计

板书区域	内容要点
中央主题	正比例
左分支	相关联的量：一种量变化，另一种量也随着变化
中分支	正比例关系：比值一定 → $\frac{y}{x}=k$（k一定）
右分支	判断步骤：①相关联 ②同方向变化 ③比值一定
示例栏	彩带：$\frac{总价}{数量}=3.5$（一定）→ 成正比例
反例栏	已看+未看=总页数（和一定）→ 不成；边长与面积比值不一定 → 不成
总结栏	正比例 = 相关联 + 比值一定

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八、作业设计

基础作业（必做）：

1. 判断下面每组中两种量是否成正比例关系，并写出理由。

   • ①圆的周长与直径；
   • ②小明的年龄与身高；
   • ③每箱苹果质量一定，苹果总质量与箱数。

   （预估用时：5分钟）

拓展作业（选做）：

1. 从生活中找一个成正比例关系的量，用表格记录3组数据，并写一段话向同伴解释为什么它们成正比例。

   （预估用时：5分钟）

合计预估时长：10 分钟（符合双减上限：书面作业≤60分钟/天（含所有科目合计，依据双减政策））

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九、核心公式速查

序号	公式/定理名称	LaTeX 表达式	适用范围
01	正比例定义式	$\frac{y}{x}=k$（k一定）	判断两种相关联的量是否成正比例
02	正比例关系式	$y=kx$（k≠0）	用函数形式表示正比例关系
03	总价与数量	$\frac{总价}{数量}=单价$（一定）	购物情境中的正比例模型
04	路程与时间	$\frac{路程}{时间}=速度$（一定）	行程问题中的正比例模型
05	正方形周长与边长	$\frac{正方形周长}{边长}=4$（一定）	几何量中的正比例关系
06	典型反例	已看页数 $+$ 未看页数 $=$ 总页数（和一定）	与正比例区分的典型反例

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教学反思模板（课后填写）

1. 目标达成情况：（学生是否达到“理解”层级目标，能否用自己的话解释、举例、区分）
2. 学生参与情况：（中等生和学困生在辨析活动中的发言情况）
3. 教学调整记录：（哪个环节用时过长或过短，哪些问题学生理解困难）
4. 下节课改进方向：（是否需要补充练习，如何衔接反比例教学）

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本教案由 BestTeach AI 辅助生成，依据《人工智能生成合成内容标识办法》（国信办通字〔2025〕2号）第四条标识。教师应独立审核修改后使用。