角的平分线教案

课程名称	课时安排	教学类型	授课对象
数学：角的平分线	45分钟	新授课	七年级（初一）：普通城市校，学生两极分化，中等生为主

教材版本	授课教师	教学主题	课标依据
（未指定）	__________	角的平分线的定义、性质与尺规作图	几何直观、运算能力、推理意识

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一、教材分析

本课围绕“角的平分线”这一核心概念展开，是初中平面几何中图形与几何领域“角”的知识体系的有机组成部分。在知识纵向上，学生在小学阶段已经有了通过折叠和测量来感知“对折”产生对称线的经验，并在七年级学习了角的概念、角的分类（锐角、直角、钝角）、角的度量与比较，以及在画角过程中使用量角器与三角尺的基本工具操作。这些知识为本课从“直观比较角的大小”过渡到“精确作出角平分线”提供了认知起点。在知识衔接上，本课学习的内容——角平分线的定义（从顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线）和基本性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）——直接服务于后续课程的学习：八、九年级将学习三角形、全等三角形、等腰三角形“三线合一”性质、角平分线的逆定理，以及利用角平分线作辅助线解决几何证明题。可以说，角的平分线是学生从“直观实验几何”向“严谨证明几何”过渡的关键纽带之一。

本课的教学重点不在于机械记忆定义，而在于让学生经历“从定义到性质，从性质到作法”的完整逻辑链条：为什么到两边的距离相等能推出它是角平分线？为什么尺规作图能精确保证所作射线符合定义？这种“先直觉实验，再归纳性质，再严谨推理”的路径，对培养学生初步的推理意识和逻辑表达能力有重要奠基作用。同时，尺规作图工具的使用让学生在“不用刻度”的条件下，体会几何作图的精确性，初步建立“数学公理与操作步骤一一对应”的严谨意识。

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二、学情分析

授课对象为七年级（初一）普通城市校学生。根据学校类型和学生特征，存在以下几个关键学情要点：

1. 知识基础与能力分化。 学生在《角》一章中已掌握角的概念、度量与比较，会用量角器画角、用三角尺量角度。但“角的平分线”作为第一次出现的精确概念，对多数中等生而言是一个需要从“量角器的角度数值操作”上升到“几何推理”的新台阶。部分基础较好的学生能够较快理解“折痕与角平分线”的对应关系，但中等生与后进生往往只停留在“会说定义”而不会“用自己的话解释为什么这样画出来的就是角平分线”。这需要教师设计“从动手操作到语言描述”的转化活动，让中等生有足够的时间内化概念。

2. 空间想象与操作能力差异。 普通城市校家庭辅导参差不齐，学生在动手画图、使用圆规和无刻度直尺方面的训练程度差别很大。实际教学中常发现：有学生在小学阶段很少练习圆规，第一次接触尺规作图会紧张、手抖、弧线画不圆；而另一些学生则会很快掌握。两极分化倾向要求课堂活动必须设计“基本步骤示范—同伴互助—独立操作”三个层级，并预留充足的操作时间，不能让后进生“看演示但不亲手做”就移入下一环节。

3. 抽象推理的认知瓶颈。 七年级学生正处于形式逻辑思维快速发展期，但多数仍依赖具体情境理解抽象结论。本课的核心难点——“以适当长为半径画弧”中“适当”二字的几何含义（即半径必须大于 $\frac{1}{2}MN$ 才能保证两弧在角的内部相交）——对逻辑能力较弱的学生来说是一个典型的“已知条件不足，需要推理”的思维门槛。教学时不能只展示“要这样做”，而要通过“如果半径太小会怎样”的反问和演示，引导学生在对比中发现规律，从而自发归纳出“大半径”几何必要性。

4. 学习动机与兴趣。 普通城市校学生中，家庭辅导参差不齐导致部分学生对数学学科存在畏难情绪。情境设计必须贴近他们熟悉的日常生活场景（如纸片缺失、玩具拼接角等），而不是抽象冰冷的几何符号。通过“折叠—测量—作图”的循序渐进活动，让每一个学生都能在至少一个环节获得成功体验，从而维持学习动机。

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三、教学目标（核心素养导向）

1. 【对应核心素养：几何直观】通过折叠角纸片与测量折痕上一点到角两边垂线段长度的动手操作，学生能用自己的话描述角平分线的定义（“从一个角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线”）的基本性质（“这条射线上的点到角两边的距离确实相等”）。

2. 【对应核心素养：运算能力】通过分步解剖尺规作角平分线的标准步骤（三种不同角的类型：锐角、直角、钝角），学生能区分“用圆规和无刻度直尺作图”与“用量角器画角平分线”在操作步骤和精确度上的异同，并能复述出每一步操作的数学依据。

3. 【对应核心素养：推理意识】通过对比折叠法、量角器法、尺规法三种画角的平分线的方法，学生能举例说明尺规作图不依赖测量工具却能“保证”所作射线是角平分线的原因（三角形的构造原理），并能解释为什么画两弧时半径必须大于两弧基脚之间的一半。

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四、教学重难点

类别	要点
教学重点	①理解角平分线的定义与性质（角平分线上的点到角两边的距离相等） ②掌握尺规作角的平分线的基本步骤（以顶点为圆心画弧交两边 → 分别以交点为圆心、大于两交点距离的一半为半径画弧相交 → 连顶点与交点作射线）
教学难点	①理解尺规作图中“以适当长为半径画弧”中“适当”二字的几何含义——为什么半径必须大于 $\frac{1}{2}MN$ 才能保证两弧在角的内部相交、且交点唯一； ②从“感性操作（折叠法）”迁移到“理性推理（尺规作图）”过程中，能初步解释为什么这样画出来的射线一定平分角（基于等腰三角形三线合一的雏形推理）

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五、教学资源与准备

教师准备： 教学课件（含角平分线定义动画、三种画法对比动画、易错点对比图）；角纸片模型（每个学生一份，纸片边缘留出两条边延长线）；圆规（课堂演示用大号圆规）；无刻度直尺；三角尺。“不完整的圆形纸片”情境道具：一个用卡纸做的不完整扇形纸片，两条边清晰，弧线被剪掉一半。

学生准备： 每人自备一个可折叠的纸片（最好是彩色纸，便于识别折痕）；一把圆规（必须能正常收合和无松散卡顿）；一把无刻度的直尺（透明直尺也可，但要求复习时能用“不依赖刻度”的操作）；一支铅笔和橡皮；一张白纸（画图用）。

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六、教学过程（总时长 45 分钟）

环节1：创设情境（激活已有经验，引发认知需求）（5 分钟）

教师活动： 教师在讲台上展示一个用卡纸做的“不完整的圆形纸片”——一个扇形纸片，两条直边保留，弧线被剪掉一半，看起来像是一个“缺片”圆。教师提问：“同学们，工人师傅在车间里发现了一个被磨损的圆盘，只剩下这个扇形部分。现在需要在这个扇形纸片上找到一点，使得这个点到扇形的两条直边距离相等。如果这个点找到了，它可以用来做什么？——有没有同学想出来，这个点的位置在几何上叫什么？”

教师停顿 3 秒，观察学生反应。

教师引导：“老师提示一个字——‘平’字，再提示两个字——‘平分线’。对了，这个点到两条边的距离相等，它就一定在这两条边所夹角的什么线上？”学生齐答：“角平分线上！”教师：“所以，要找到这个点，我们首先要学会如何画出一个角的平分线。今天我们就来看看，角的平分线有哪几种画法？它们各有各什么优缺点？那一种画法用尺和圆规就能完成，而不需要量角器？”

教师同时板书课题“角的平分线”并画出纸片对应的角。板书要点：画出一个 ∠AOB，标注 °，再画一条射线 OC 标注出“平分线”的初始示意，旁边写上“让我们来画！”

学生活动： 学生观察纸片，部分学生立刻想到“对称”，说“可以把角对折让两边重合，折痕就是平分线”；其他学生有疑惑，但有同学提醒“折一下”。教师让几位学生用手比划折线的方向，全班一起初步感知折叠法的原理。学生讨论后回答：“这个点到两边的距离相等，它就在角的平分线上。”（此环节只问“对”，不过多追问。）

设计意图： 从“不完整的圆盘”这一生活情境切入，把抽象问题“找一点到两边等距”转化为学生熟悉的“对称折痕”经验，激发学生好奇心。直入主题——我们要学画角平分线。没有过多时间花在引入上，因为 5 分钟要完成一情境一讨论一结论，为后面核心环节留时间。

板书设计要点： 中央写出标题“角的平分线”，左侧画一个大角（∠AOB = 70°左右），标注顶点 O、两边 OA、OB；右侧写关键词：“到两边距离相等→角平分线上”。

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环节2：探究新知——理解定义与性质（15 分钟）

教师活动： 教师发给每组一张预先画好的角纸片（角开口约 100°），让同桌两人合作进行如下操作：

1. 折叠感知：请学生把纸片对齐对折，使角的两边重合，观察折痕。教师提问：“这条折痕是从哪儿到哪儿？”学生答：“从顶点到对面。”教师追问：“它把角分成了两个什么？”学生答：“两个小角。”教师：“两个小角的大小关系是？”学生：“相等。”

2. 定义提炼：教师边板书边说出定义：“像这样的射线 OC——从 ∠AOB 的顶点 O 出发，把 ∠AOB 分成两个相等角（∠AOC = ∠COB）——我们就称 OC 是 ∠AOB 的角平分线。”

3. 性质探究（测量验证） ：让学生把折好的纸片展平，在折痕上任选一点 P（顶点 O 除外）。用三角尺作 P 到 OB 边的垂线，垂足记为 D；作 P 到 OA 边的垂线，垂足记为 E。然后让学生用刻度尺测量 PD 和 PE 的长度。教师巡视，观察测量情况。当发现大部分学生测出长度相等时，教师叫停并提问：“哪一组愿意汇报一下你们的测量数据？”预计学生回答：PD = 2.3 cm，PE = 2.3 cm；或者 PD = 3.5 cm，PE = 3.5 cm。教师：“这就是我们今天要学的第二个重要结论：角平分线上的点到角两边的距离相等。”

4. 性质的语言转化：教师：“大家能不能用自己的话，把这个‘性质’再说一遍？——比如这样说：‘角平分线 OC 上找一个点 P，从 P 向两边作垂线，这两条垂线是一样长的。’来，谁愿意试试？”几名学生尝试用自己的话说，教师纠正语言不够严谨之处（如“垂线长度”应说“垂线段长度”）。

学生活动： 学生动手折叠纸片，轻声交流；接着描出折痕，取点 P，做垂线。有的学生一开始不知道怎么做垂线——教师提示：“用三角尺的直角边对到一边，另一条直角边过点 P 画一条直线。”学生独立完成测量。有学生发现测量值有微小差异（因作图误差），教师引导学生讨论：“为什么会有微小的差别？”学生答：“因为作垂线的时候不完全是垂直的，或者测量不准确。”教师肯定，强调“理论上是相等，操作误差是正常的。”

学生代表汇报测量数据时，其他同学对照自己数据核对。部分学生数据差异大，教师当场指导重做。

设计意图： 从“折叠”到“测量”的过程，完全符合“实验探索—发现规律—归纳性质”的认知路径。全员动手操作保证了每个学生都有直观体验，中等生和后进生不会因为“直接给定理”而跟不上。让学生“用自己的话说”取代“背诵教材定理”，体现了理解层级目标——能用自己的话表述才算真正理解。

板书设计要点： 中央标题下写出定义：“从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线”。下边画出一条角平分线图，标注“∠AOC = ∠COB”。右侧写性质：“角平分线上的点到角两边的距离相等”，并画出示意。

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环节3：变式练习——尺规作图（12 分钟）

教师活动： 教师：“刚才我们用折叠法和测量法得到了角的平分线，但折叠法只能在纸片上操作，没法在尺/规上精确画出来。现在，我们学习一种只用圆规和无刻度直尺就能画出任意角的平分线的方法——尺规作图。”

教师分步骤演示：

1. 第一步：以点 O 为圆心，任意长（比如半径 3 cm）为半径画弧，与两边 OA、OB 分别交于点 M、N。（板书标注：OM = ON = 圆规半径）

2. 第二步：分别以 M、N 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}MN$ 为半径画弧，两弧相交于点 P。

3. 第三步：作射线 OP，射线 OP 即为 ∠AOB 的平分线。

教师慢速再演示一遍，边做边提问：“为什么这里半径必须‘大于 $\frac{1}{2}MN$’？如果我选一个比 $\frac{1}{2}MN$ 更小的半径会怎么样？”教师用慢动作画出一个“极小半径”画弧的演示，两弧不相交。学生恍然大悟：“半径太小，两个弧会碰不到，没有交点了！”教师继续问：“那么半径如果选得非常大呢？比如半径等于 10 cm，两弧会不会相交？”学生：“会，而且交点会离 O 很近或者很远。”教师总结：“所以‘适当’到底是什么意思？——就是‘大于 M、N 距离的一半’，保证两弧在角的内部相交。”

现在让学生操作三种角的尺规作图：

• 变式 1：画一个锐角（约 50°），作它的平分线。
• 变式 2：画一个直角（90°），作它的平分线。
• 变式 3：画一个钝角（约 120°），作它的平分线。

教师巡视指导，及时纠正学生“圆心选错”、“半径太小”、“两弧交点画在角外部”等错误。对特别困难的学生，教师直接手把手教。

学生活动： 学生拿出圆规和无刻度直尺，先看教师示范。有些基础好的学生一学就会，但中等生需要至少看两遍示范才能独立操作。教师演示完后，学生开始在自己的白纸上画一个锐角，然后尝试用尺规作图。有学生第一次画图时，圆规不会正确收合，或者捏着笔不稳，导致弧线歪了——同桌互助。

典型错误记录：

• 错误 A：第二步画弧时，直接用 M 为圆心、OM 为半径（即保持 3 cm）去画弧，结果两弧交点不在角内。
• 错误 B：半径太长，两弧交点离 O 很远，连线后不是平均分角。

教师针对 A 错误，提问：“你试着解释一下，为什么用 OM 去画弧不合适？”答：“因为两个圆半径相等，圆心距 MN 可能小于或等于半径，两弧可能会相切或不相交。”教师肯定：“对，所以半径必须大于 MN 的一半。”

学生完成锐角后，自己尝试直角和钝角。三类角全部完成的学生，举手示意。

设计意图： 通过变式练习（锐角、直角、钝角），防止学生只会在固定图形上操作，培养“作图方法适用任意角”的普遍化意识。同时，对“半径必须大于一半”这一易错点，通过“错误演示”进行前置干预，避免学生在自己操作中反复出错。同伴互助也帮助了后进生。

板书设计要点： 左侧写出三步步骤：1. 顶点画弧（O→M,N）；2. 交点画弧（M,N 大于 $\frac{1}{2}MN$ 相交于 P）；3. 连线作射线 OP。右侧画出三种角的图并标注区别，用虚线标出弧。在第二步旁备注“半径 > $\frac{1}{2}MN$，否则两弧不相交”。

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环节4：错误辨析（针对本节课典型易错点）（5 分钟）

教师活动： 教师展示错误图形（投屏或画在黑板上）：

• 错误图形 1：两弧的交点画在了角的外部（即角的左侧或右侧），P 不在角内部。提问：“这个作法中，两弧交点在角的外部，那么射线 OP 会不会平分 ∠AOB？大家想一想——如果 OC 是角平分线，它应该只经过角的内部，对吧？那么这个射线经过外部，它还能平分角吗？”学生齐答：“不能！”

• 错误图形 2：只画了一个弧（比如只以 M 为圆心画了一次弧），然后直接把 M 和顶点连起来。提问：“这个同学画了一条从顶点 O 到 M 的射线，它能把 ∠AOB 平分吗？为什么？”学生思考后回答：“不行，M 是 OA 上的点，连接 O 和 M 后只是 OA 边，并没有平分角！”教师：“所以，尺规作图中，‘两弧相交’是必须的步骤，不是一个就是两个，而是两个完全不同的弧——第一步以顶点画弧，第二步分别以 M、N 为圆心画弧——缺一不可。如果缺了第二个弧，我们缺了什么？”学生：“缺少了‘交点’的条件，就不知道射线应该往哪个方向画了。”

• 错误图形 3：第一步画弧时，半径不统一（第一个弧半径 3 cm，第二个弧半径 2.5 cm），导致 M、N 到 O 距离不相等。教师：“这样还能保证 OP 平分角吗？”教师请学生自己推导。稍待后揭示：“由于 OM ≠ ON，∠AOP 和 ∠POB 就不能保证相等。”

学生活动： 学生观察错误图形，小组内快速讨论。有学生站起来指出错误图形 1 的问题：“因为 P 点不在角内部，射线往外部走了，所以不能平分角。”教师追问：“那你怎么知道它平分不了？”学生：“因为角平分线应该从角的内部走，而 P 在角外，所以射线 OP 肯定不是角平分线。”其他学生点头。对错误图形 2，一些后进生也开始明白：“啊！如果只画一个弧就连接，那和直接画一条边没区别。”

教师让基础较好的同学当着全班演示一下正确做法，其他同学注意观察细节。

设计意图： 用可视化错误展示（而不是只口头提醒）来强化学生对“条件与结论必须严格对应”的理解。错误图形 1 指向“交点位置”判断，错误图形 2 指向“两弧缺一不可”，错误图形 3 指向“半径一致”原则——这三个典型错误覆盖了学生在练习中最可能踩的坑。

板书设计要点： 在板书左侧列出“易错点 1：弧的交点跑到角外”；“易错点 2：只画了一个弧就连线”；“易错点 3：两步画弧半径不一致”。在旁边画出错误图形的简图（标注“×”）。

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环节5：总结提升（建构知识结构，梳理思想方法）（5 分钟）

教师活动： 教师：“今天，我们学会了用三种方法来画角的平分线。请大家回想一下，这三种方法分别是哪三种？”学生齐答：“折叠法、量角器法、尺规法。”

教师：“老师先来梳理一下它们的优缺点。”教师板书三类对比：

方法	工具	优点	缺点
折叠法	纸片	快、直观	不能精确画在黑板上
量角器法	量角器 + 直尺	能读出度数	需要测量刻度，易引入误差；不适用于所有场景
尺规法	圆规 + 无刻度直尺	精确；不依赖测量工具；可反复构造	步骤多，需记忆+理解为什么

教师：“那么，今天我们学习了角平分线的定义和性质，谁愿意用一句话概括你今天最大的收获？”“我学到的是，角平分线上的点到角两边的距离相等。”“我学会了用尺规画角平分线，而且知道为什么半径要大于一半。”

教师最后：“为什么尺规法能保证画出来的射线一定平分角？其实原因和我们之前学过的‘等腰三角形’有关——如果我们把 M、N、P 三点连起来，会形成一个等腰三角形（MP = NP，因为半径相等），而点 P 到 M 和 N 距离相等，说明 P 在线段 MN 的垂直平分线上。通过计算角度关系就能推出 OM = ON 和 MP = NP，从而得到 OM = ON。这个推理我们在下节课可以更深入讨论。”

学生活动： 学生回忆并梳理今天学习的内容，在教师引导下完成下表的口头填空。最后，教师让 2-3 名同学用自己的话简短复述今天 2-3 个核心收获（定义 + 性质 + 尺规作图步骤）。部分学生表达不够流畅，教师帮助整合语言。

设计意图： 用对比表总结三种方法的优缺点，帮助学生形成知识结构；同时为下节课“等腰三角形三线合一”作思维预热。让学生“用自己的话概括核心收获”是理解层级目标的经典检验形式。

板书设计要点： 在板书下方写出对比表（教师口头+板书摘要列）。右侧写下总结句：“核心：定义→性质→作法。方法的对比：快：折叠法；精确：尺规法；可测量：量角器法。（各有适用场景）”。

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环节6：作业设计（分层布置，控制时长）（3 分钟）

教师活动： 教师：“今天有两个作业任务，分基础和拓展两个层次。基础题是必做的，拓展题选做——做得好的同学，下节课我们会以此为基础讲新知识。”

1. 基础作业：用量角器画一个 70° 的角，然后用尺规作出它的平分线。完成后，用量角器量一量平分线与角两边的夹角，验证是否两个角都是 35°。如果测量出来有微小偏差，说明原因。（教师提醒：“用圆规画弧的时候，注意半径要大于 M、N 间距的一半。”）

2. 拓展作业：在纸上画一个任意三角形（注意三个角大小不一样），用尺规分别作出它的三个内角的平分线。观察三条角平分线是否交于一点？如果交于一点，请测量这个点到三角形三条边的距离，看是否相等？（教师提示：“这和‘三角形的内心’有关，下节课我们会讲。”）

教师强调：“基础题大约需要 10 分钟完成；拓展题做得快的同学 15 分钟也能完成。书面作业总量务必控制在 30 分钟以内。”

学生活动： 学生记录作业要求。有学生举手问：“基础题要不要写步骤描述？”教师：“不用写文字步骤，但要保证画的图清晰、弧线完整、交点可见。把验证的测量数据写在图旁边。”另外有学生问拓展题：“交于一点的特征是不是所有三角形都成立？”教师：“好问题——自己动手试过就知道了。如果试出有例外情况，下节课带来讨论。”

设计意图：

• 基础作业聚焦巩固“尺规作图”这一核心技能，并通过“验证夹角”的操作让学生自己确认画法是否正确（自纠式评价）。
• 拓展作业为下节课“三角形的内心”做探究铺垫，激发学有余力学生的探究兴趣，同时不加重全体学生负担。
• 书面作业总时长控制在 10-15 分钟，符合“双减”政策中关于初中生书面作业时长要求的具体精神。

板书设计要点： 在板书最下方写出作业提示：“作业1（必做）画 70° 角并尺规平分，验证两角为 35°；作业2（选做）画任意三角形，作三个角平分线，观察交点及其到三边的距离”。

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七、板书设计

板书区域	内容要点
中央主题	“角的平分线”——定义、性质、作法
左上分支：定义	从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线 → 作标记：∠AOC = ∠COB
左中分支：性质	角平分线上的点到角两边的距离相等 → 画示意：PD = PE
右中分支：尺规作图三步骤	① O 为圆心，画弧交 OA、OB 于 M、N ② 以 M、N 为圆心，半径 > ½MN 画弧交于 P ③ 作射线 OP → OP 平分角（需在每一小步边上写原因）
右下分支：易错点	① 交点画到角外 ② 只画一个弧就连接 ③ 两步画弧半径不一致
下方对比表	三种方法：折叠法（快/直观） / 量角器法（可测度数） / 尺规法（精确）
底部作业	(1) 画 70° 角并尺规平分，验证两角是否为 35°；(2) 选做：画三角形三个角平分线，观察交点

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八、作业设计

评价方式：让学生解释给同伴听 + 概念辨析题 + 举反例。评价层级为“理解”，学生需能独立完成作图并说出每个步骤的原因。

基础作业（必做）

1. 用量角器与尺规配合验证巩固作业：
   • 步骤：使用量角器在纸上画出一个 70° 的角（顶点 O，两边 OA、OB）。
   • 然后使用尺规作图法（圆规 + 无刻度直尺）画出这个角的平分线 OC。
   • （提示关键点：第一步以 O 为圆心画弧，交 OA、OB 于 M、N；第二步分别以 M、N 为圆心，半径大于 $\frac{1}{2}MN$ 画弧交于 P；第三步作射线 OP。）
   • 完成后再用量角器测量 ∠AOC 和 ∠COB 的度数，各为多少？是否都为 35°？
   • 如果测量结果有微小偏差（例如 34.5° 和 35.5°），你认为是为什么？请写出最多两句话的说明。
   • 预判常见问题：学生可能在画弧时半径选择不当，导致交点偏离。提醒学生检查黑板上“半径条件”和“两弧相交”是否满足。
   • 预估时长：10 分钟

拓展作业（选做）

1. 任意三角形三个角平分线的交点探究作业：
   • 步骤：在纸上画一个任意大小、任意形状的三角形 ABC（三个角的大小至少有 10° 以上的差别，避免等边三角形使结论特殊化）。
   • 使用尺规作图法，分别作出 ∠A、∠B、∠C 的平分线。
   • 问题 1：这三条角平分线是否交于同一点？如果交点不是同一个点（即三条线不共点），请画图说明原因（可能是作图误差）。
   • 问题 2：假设三条线交于同一点 O，请测量点 O 到三角形三条边（BC、CA、AB）的垂线段长度，这些长度彼此之间有什么关系？
   • 预判探究方向：学生可能发现三条线确实交于一点 → 引出“三角形的内心”概念。学生可能因为作图误差感到“差一点”，教师可以接受“误差范围内相交”的结论。
   • 建议：请将实际测量数据写在下节课的小纸条上，供课堂讨论。
   • 预估时长：15 分钟

合计预估时长：必做 10 分钟 + 选做 15 分钟（选做不计入书面作业总量强制要求，但建议学生若选择做，须保证总时间不超过 30 分钟）

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核心公式与定理速查表

序号	公式/定理名称	LaTeX 表达式	适用范围
01	角平分线定义	$\angle AOC = \angle COB$ 且 $OC$ 在 $\angle AOB$ 内部	一个角
02	角平分线的性质	若 $P$ 在角平分线 $OC$ 上，且 $PD \perp OA$ 于 $D$，$PE \perp OB$ 于 $E$，则 $PD = PE$	一个角
03	尺规作图判定条件	以 $O$ 为圆心画弧→交 $OA,\,OB$ 于 $M,\,N$； 分别以 $M,\,N$ 为圆心，半径 $r > \frac12 MN$ 画弧交于 $P$；作 $OP$	任意角
04	半径条件的推导	当 $r \le \frac12 MN$ 时，两圆相交无交点或相切 → 不能得到 $P$ 点	尺规作图
05	距离相等的逆命题（预备）	若点 $P$ 到 $\angle AOB$ 两边距离相等，则 $P$ 在 $OC$ 上	下节课铺垫

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教学反思模板（课后填写）

1. 目标达成情况（学生是否达到“理解”层级目标）：例如——从学生自己解释定义、发现性质、完成作图的表现来看，大约 $\frac{3}{4}$ 的学生能完整说出“定义”“性质”两项，半数左右的学生能在无提示下解释“为什么半径要大于一半”——这符合理解层级（能解释、能举例）。不足在于：个别后进生仍停留在“记住步骤不会解释为什么”阶段，需要在下一节“三角形的内心”过程中通过重演作图步骤加强理解。

2. 学生参与情况：全班参与折叠、测量、三种角变式作图。女生在后半段的尺规作图操作中表现较好；中间生中约有 6 人因为圆规操作不熟练导致画图报废一次，同桌互助后重画成功；两端生对错误辨析兴趣较强，在小组讨论中主动发现自己之前的默画错误。总体参与度 90% 以上。

3. 教学调整记录：原设计错误辨析放在变式练习之前，但实际操作中发现变式练习中学生已自然暴露出不少错误（如半径太短、圆心选错），于是将辨析提前到变式完成后统一进行，更高效不打断。作业设计中的拓展题在课堂末尾可以提前展示一张“三个角平分线共点”的示例图，直接激发好奇心，效果更好。

4. 下节课改进方向：拓展作业（三角形内心）的探究结果可引入课堂，以此为基础正式讲授“三角形的内心”，让作业与新课无缝衔接。同时重点解决“后进生为什么不能解释作图依据”——可通过下节课板书复习加一个“两步对应两步逻辑”的提示。

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本教案由 BestTeach AI 辅助生成，依据《人工智能生成合成内容标识办法》（国信办〔2025〕第3号）第 5 条标识。教师应独立审核修改后使用。