《二项式定理》导学案｜通项公式与赋值法
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学习目标
- 借助计数原理的推导过程，理解二项式定理，能准确写出二项展开式并掌握其结构特征。
- 熟记通项公式，能区分二项式系数与项的系数，并能快速求出指定项。
- 会用赋值法求二项展开式中各项系数的和，并能解决与通项有关的简单综合问题。
- 能运用二项式定理解决一个整除或近似计算问题，并说明推理依据，提升数学运算与逻辑推理素养。
自主学习
请阅读教材“二项式定理”一节，完成下列填空。
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二项式定理
((a+b)^n = ______________ (n\in \mathbb{N}^*))，右边的多项式叫做 ((a+b)^n) 的二项展开式，共有______项。其中各项的系数 (C_n^k;(k=0,1,2,\dots,n)) 叫做______。 -
通项公式
((a+b)^n) 的展开式的第 (k+1) 项（通项）(T_{k+1} = ______________)。它表示展开式的第______项。 -
特例
((1+x)^n = ______________ = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k)。 -
结构规律
- 项数：展开式共有______项。
- 指数：(a) 的指数从 (n) 逐项减 1 直到 0，(b) 的指数从 0 逐项增 1 直到 (n)，每一项中 (a) 与 (b) 的指数和等于______。
- 系数：第 (k+1) 项的二项式系数是______，注意它与该项系数的区别。
请独立完成以下自测，再在课堂交流中核对订正：
(1) 写出 ((1+2x)^5) 的展开式的第 3 项。
(2) 求 ((x^2+\frac{1}{x})^6) 的展开式中 (x^3) 的系数。
（自主完成区）
合作探究
探究一：通项公式的直接应用
例1 已知 ((\sqrt{x} - \frac{2}{x})^8) 的展开式。
(1) 求展开式中的第 5 项；
(2) 求展开式中的有理项（即 x 的指数为整数的项）。
探究要求
- 每位同学先独立写出通项 (T_{r+1} = C_8^r (\sqrt{x})^{8-r} (-\frac{2}{x})^r)，并化简。
- 小组内交流化简结果，核对通项是否一致。
- 针对 (1)，直接令 (r+1=5) 求解，并指出二项式系数与项的系数。
- 针对 (2)，讨论 “有理项” 的条件，列出指数为整数的 r 值，再写出所有有理项。
- 小组代表板演，师生共同总结通项公式的操作流程：设通项→整理指数→根据条件列方程求 r→代回通项。
例2 设 ((1-2x)^{2025} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{2025} x^{2025})。
(1) 求 (a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_{2025}) 的值；
(2) 求 (a_1 + a_3 + a_5 + \cdots + a_{2025}) 的值；
(3) 求 (|a_0|+|a_1|+|a_2|+\cdots +|a_{2025}|) 的值。
探究过程
- 第 (1) 问引导学生发现令 (x=1) 即可得到各项系数和，结果为 (-1)。
- 第 (2) 问提示利用赋值 (x=-1)，得到 (a_0 - a_1 + a_2 - \cdots - a_{2025} = 3^{2025})，再与 (1) 的结果联立，通过加减消元求出奇数次项系数和。
- 第 (3) 问引导观察：(a_k = C_{2025}^k (-2)^k)，其正负由 (k) 的奇偶决定，要算绝对值之和，相当于求 ((1+2x)^{2025}) 的展开式中各项系数的和，因此令 (x=1)，得 (3^{2025})。
- 小组讨论赋值法的本质：将展开式看作一个恒等式，通过给 (x) 赋予特殊值，得到关于系数的方程（组），进而求指定系数和。
当堂检测
- ((x - \frac{1}{x})^8) 的展开式中常数项为________。
- 在 ((2x-1)^5) 的展开式中，第 4 项的系数为________（用数字作答）。
- 若 ((1+x)^n) 的展开式中，第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则 (n =) ________。
- 设 ((3x-1)^6 = a_6 x^6 + a_5 x^5 + \cdots + a_1 x + a_0)，则 (a_6 + a_5 + \cdots + a_1 + a_0 =) ________，(a_0 =) ________。
拓展提升
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整除问题
用二项式定理证明：(55^{55} + 9) 能被 8 整除。
提示：将 (55) 写成 (56-1)，展开 ((56-1)^{55})，观察各项中 56 的倍数特征，再处理余项与 9 的和。 -
三项展开式求指定项系数
求 ((x^2 + \frac{1}{x} + 2)^5) 的展开式中常数项。
思路：可视为两项组合，或将三项式转化为二项形式，如先写成 ([(x^2 + \frac{1}{x}) + 2]^5)，利用通项与求和思想分析得到常数项的几种来源，再分类计算系数。 -
自我反思
回顾本课，你认为通项公式在处理二项展开式问题中的核心作用是什么？赋值法的关键是什么？请用一两句话写下来。