《二项式定理》导学案｜通项公式与赋值法

学习目标

1. 借助计数原理的推导过程，理解二项式定理，能准确写出二项展开式并掌握其结构特征。
2. 熟记通项公式，能区分二项式系数与项的系数，并能快速求出指定项。
3. 会用赋值法求二项展开式中各项系数的和，并能解决与通项有关的简单综合问题。
4. 能运用二项式定理解决一个整除或近似计算问题，并说明推理依据，提升数学运算与逻辑推理素养。

自主学习

请阅读教材“二项式定理”一节，完成下列填空。

1. 二项式定理
   $(a+b)^n = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ (n\in \mathbb{N}^*)$，右边的多项式叫做 $(a+b)^n$ 的二项展开式，共有______项。其中各项的系数 $C_n^k\;(k=0,1,2,\dots,n)$ 叫做______。

2. 通项公式
   $(a+b)^n$ 的展开式的第 $k+1$ 项（通项）$T_{k+1} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$。它表示展开式的第______项。

3. 特例
   $(1+x)^n = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k$。

4. 结构规律

   • 项数：展开式共有______项。
   • 指数：$a$ 的指数从 $n$ 逐项减 1 直到 0，$b$ 的指数从 0 逐项增 1 直到 $n$，每一项中 $a$ 与 $b$ 的指数和等于______。
   • 系数：第 $k+1$ 项的二项式系数是______，注意它与该项系数的区别。

请独立完成以下自测，再在课堂交流中核对订正： (1) 写出 $(1+2x)^5$ 的展开式的第 3 项。
(2) 求 $(x^2+\frac{1}{x})^6$ 的展开式中 $x^3$ 的系数。
（自主完成区）

合作探究

探究一：通项公式的直接应用

例1 已知 $(\sqrt{x} - \frac{2}{x})^8$ 的展开式。 (1) 求展开式中的第 5 项；
(2) 求展开式中的有理项（即 x 的指数为整数的项）。

探究要求

1. 每位同学先独立写出通项 $T_{r+1} = C_8^r (\sqrt{x})^{8-r} (-\frac{2}{x})^r$，并化简。
2. 小组内交流化简结果，核对通项是否一致。
3. 针对 (1)，直接令 $r+1=5$ 求解，并指出二项式系数与项的系数。
4. 针对 (2)，讨论 “有理项” 的条件，列出指数为整数的 r 值，再写出所有有理项。
5. 小组代表板演，师生共同总结通项公式的操作流程：设通项→整理指数→根据条件列方程求 r→代回通项。

例2 设 $(1-2x)^{2025} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{2025} x^{2025}$。
(1) 求 $a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_{2025}$ 的值；
(2) 求 $a_1 + a_3 + a_5 + \cdots + a_{2025}$ 的值；
(3) 求 $|a_0|+|a_1|+|a_2|+\cdots +|a_{2025}|$ 的值。

探究过程

• 第 (1) 问引导学生发现令 $x=1$ 即可得到各项系数和，结果为 $-1$。
• 第 (2) 问提示利用赋值 $x=-1$，得到 $a_0 - a_1 + a_2 - \cdots - a_{2025} = 3^{2025}$，再与 (1) 的结果联立，通过加减消元求出奇数次项系数和。
• 第 (3) 问引导观察：$a_k = C_{2025}^k (-2)^k$，其正负由 $k$ 的奇偶决定，要算绝对值之和，相当于求 $(1+2x)^{2025}$ 的展开式中各项系数的和，因此令 $x=1$，得 $3^{2025}$。
• 小组讨论赋值法的本质：将展开式看作一个恒等式，通过给 $x$ 赋予特殊值，得到关于系数的方程（组），进而求指定系数和。

当堂检测

1. $(x - \frac{1}{x})^8$ 的展开式中常数项为________。
2. 在 $(2x-1)^5$ 的展开式中，第 4 项的系数为________（用数字作答）。
3. 若 $(1+x)^n$ 的展开式中，第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则 $n =$ ________。
4. 设 $(3x-1)^6 = a_6 x^6 + a_5 x^5 + \cdots + a_1 x + a_0$，则 $a_6 + a_5 + \cdots + a_1 + a_0 =$ ________，$a_0 =$ ________。

拓展提升

1. 整除问题
   用二项式定理证明：$55^{55} + 9$ 能被 8 整除。
   提示：将 $55$ 写成 $56-1$，展开 $(56-1)^{55}$，观察各项中 56 的倍数特征，再处理余项与 9 的和。

2. 三项展开式求指定项系数
   求 $(x^2 + \frac{1}{x} + 2)^5$ 的展开式中常数项。
   思路：可视为两项组合，或将三项式转化为二项形式，如先写成 $[(x^2 + \frac{1}{x}) + 2]^5$，利用通项与求和思想分析得到常数项的几种来源，再分类计算系数。

3. 自我反思
   回顾本课，你认为通项公式在处理二项展开式问题中的核心作用是什么？赋值法的关键是什么？请用一两句话写下来。