《函数的概念及其表示》教学设计｜函数概念四问辨析表
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教学目标
- 经历高速列车行驶、气温变化、学号身高三个实例的共性概括，能用集合与对应语言说出函数概念，并指出定义域、对应关系、值域三要素，发展数学抽象素养。
- 会求简单函数定义域并用区间表示，能依据三要素判断两个函数是否为同一函数，发展逻辑推理素养。
- 能根据实际问题特点选择解析法、列表法、图象法表示函数；会写分段函数解析式并画图，发展数学建模与直观想象素养。
教学重难点
重点：函数概念的集合对应说；函数三要素；三种表示法及分段函数。 难点：从变量依赖观转向“任意 x、唯一 y”的对应观；理解值域是集合 B 的子集而非必须等于 B。
教学过程
环节一 情境导入：三个实例抽象共性
教师依次呈现三个实例：
实例1：列车以 200 km/h 匀速行驶，时间 t（小时）与路程 s（千米）满足 s=200t，t≥0。 实例2：给出同一天的模拟气温记录：8 时 18 ℃、10 时 21 ℃、12 时 25 ℃、14 时 26 ℃、16 时 24 ℃。学生描出五个点；只把这五个时刻作为定义域，不连接成未经观测的连续曲线。 实例3：给出匿名示例表：学号 01—06 对应身高（cm）依次为 158、161、159、164、161、166。学号是本例的输入，每个学号只有一个记录值；不同学号可以有相同身高。
提问：这三个问题中的数量关系有哪些共同点？教师追问：五个气温记录点能否据此确定全天气温的解析式？学生应答“不能”，但记录仍可用列表和离散点图表示。教师引导归纳：它们都有两个非空数集；第二个量由第一个量按某种对应关系唯一确定。板书“任意 x，唯一 y”，并强调值域 {f(x)|x∈A} 是集合 B 的子集。
环节二 概念辨析：三要素与同一函数
教师出示“四问辨析表”，学生独立判断后互议：
① y=1 是函数吗？——是函数，定义域为 R，对应关系 f(x)=1，任意 x 都有唯一 y=1。 ② 一个 x 能否对应两个不同 y？——不能，否则不满足“唯一确定”。 ③ 两个不同 x 能否对应同一个 y？——可以，如 y=x² 中 x=1 与 x=-1 都对应 y=1。 ④ f(x)=x 与 g(x)=|x| 是同一函数吗？——不是，定义域虽均为 R，但对应关系不同。
教师只追问“定义域是什么？对应关系是什么？唯一性满足吗？”，不直接给结论。
随后进入例题组：
例1 求 y=√(x+1)/(x-2) 的定义域，并用区间表示。学生列不等式组 x+1≥0 且 x-2≠0，得 [-1,2)∪(2,+∞)。
例2 判断 f(x)=x²，x∈R 与 g(t)=t²，t∈R 是否同一函数。学生明确：定义域相同、对应关系相同，是同一函数，与自变量字母无关。
例3 判断 f(x)=1，x∈R 与 g(x)=x⁰ 是否同一函数。学生发现 g(x) 定义域为 x≠0，不是同一函数。
教师归纳：判断同一函数只看定义域和对应关系，不看字母和形式。
环节三 表示法：分段函数的建模与作图
教师用 y=|x| 让学生列出 x=-2,-1,0,1,2 的对应值表，描点画图象；再引导写成分段解析：
y= x，x≥0；y=-x，x<0。
强调：分段函数是一个函数，不是几个函数；分段点处注意端点是空心还是实心。
实际问题建模：给出课堂模拟规则：行程里程 x>0，3 km 内收费 10 元，超出部分按每千米 2 元连续计费，暂不考虑实际出租车的起步里程、计价跳表和附加费。学生先写分段解析，再列表、画图：0<x≤3 时 y=10；x>3 时 y=10+2(x-3)。在 x=3 处画实心点，x=0 不在定义域内。展示作品，比较解析法、列表法、图象法各自优势。
环节四 小结与分层作业
学生用“三要素一句话”互说：函数是 A 中任意一个 x，按对应关系 f 在 B 中有唯一 y 与之对应。
必做3题：
- 求 y=1/(x-1) 的定义域并用区间表示。
- 判断 f(x)=x² 与 g(x)=√(x⁴) 是否同一函数，说明理由。
- 画出 y=|x+1| 的图象，并写成分段形式。
选做1题：使用示例数据“周一至周五用电量（kWh）依次为 4、5、4、6、3”，用列表和离散点图表示日期与用电量的对应关系，并标出定义域与值域。无需收集家庭用电记录。
教师核对答案：必做 1 的定义域为 (-∞,1)∪(1,+∞)；必做 2 在定义域均为 R 时是同一函数，因为 √(x⁴)=x²；必做 3 为 y=-(x+1)（x<-1），y=x+1（x≥-1），顶点 (-1,0) 为实心点。选做题定义域为这五个工作日，值域为 {3,4,5,6} kWh。
板书设计
函数的概念及其表示
一、概念
A、B 非空数集：任意 x∈A，唯一 f(x)∈B
y=f(x)，x∈A
定义域 A；值域 {f(x)|x∈A} ⊆ B
二、三要素
定义域、对应关系、值域
三、表示法
解析法｜列表法｜图象法
四、分段函数
一个函数，分段表达；注意端点
右侧例题区：例1 定义域 / 例3 同一函数判断
设计意图
本设计用可直接投屏的三个示例让学生接触函数的三种表示方式，再抽象共同本质；四问辨析表把“B 与值域关系”“唯一性”等易错点前置。模拟计价问题让学生说明模型条件和定义域；离散数据不被误画成连续曲线。板书以概念图式呈现从集合对应到表示法的整体结构。
教学概念依据：《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》。示例数据与计价规则均为本课自拟。