《两角和与差的三角恒等变换》教学设计｜变角技巧一学就会

2026-07-12 · 数学

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教学目标

通过单位圆的对称性，经历推导两角差的余弦公式的过程，体会向量法与距离法的内在联系，发展逻辑推理素养。
以两角差的余弦公式为基础，自主推导两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式，理清公式体系，掌握公式的结构特征。
能识别“变角”的基本模式（如“所求角＝已知角＋所求角”“将所求角拆成已知角的和差”），会根据问题选择合理公式进行化简、求值与证明，形成有序的运算思路。
在问题链的引导下，逐步体会“变角—选公式—用条件”的解题路径，克服盲目套公式的惯性，增强分析问题的意识。

教学重难点

重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导与记忆；利用公式解决“给值求值”类问题的基本步骤。难点：根据已知角与未知角的关系灵活“变角”，并选择恰当的公式进行配凑变换，特别是在非特殊角且涉及多种三角函数值的复杂情境中形成运算思路。

教学过程

环节一：情境引入，感知“变角”的必要性

教师活动：出示问题：已知 ( \cos15^\circ ) 的结果能否用 ( \cos45^\circ ) 和 ( \cos30^\circ ) 表示？让学生尝试计算 ( \cos45^\circ - \cos30^\circ )，发现它不等于 ( \cos15^\circ )，从而引发认知冲突。 学生活动：计算发现 ( \cos45^\circ - \cos30^\circ \approx -0.1589 )，而 ( \cos15^\circ \approx 0.9659 )，差异巨大。意识到 ( \cos(\alpha - \beta) ) 并不能简单地拆成 ( \cos\alpha - \cos\beta )，急需两角差的余弦公式。 设计目的：以熟悉的特殊角为起点，打破学生可能存在的“函数运算可分配”的迷思，自然引出课题。

环节二：公式推导，构建知识体系

教师活动：

引导回忆单位圆中任意角的三角函数的定义，并在黑板上画出一个单位圆，标出角 ( \alpha )、( \beta ) 及 ( \alpha - \beta ) 的终边。
设问：能否利用向量数量积或两点间距离公式，求出 ( \cos(\alpha - \beta) ) 与 ( \cos\alpha, \cos\beta, \sin\alpha, \sin\beta ) 的关系？分小组探究。
巡视指导，提示学生关注终边与单位圆交点的坐标，以及圆的旋转对称性。 学生活动：小组一（向量法）：设角 ( \alpha )、( \beta ) 的终边与单位圆交于点 ( P_1(\cos\alpha, \sin\alpha) )、( P_2(\cos\beta, \sin\beta) )，则 ( \overrightarrow{OP_1} \cdot \overrightarrow{OP_2} = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta )，同时该数量积也等于 ( \cos(\alpha - \beta) )，所以 ( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta )。小组二（距离法）：利用 ( |P_1P_2|^2 = (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 )，再与旋转后坐标比较，得出相同结论。 教师总结：给出两角差的余弦公式，强调其对称美。随后抛出任务：如何由 ( \cos(\alpha - \beta) ) 推导 ( \cos(\alpha + \beta) )？学生立刻想到用 ( -\beta ) 替换 ( \beta )，得到 ( \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta )。再用同样替换方法，诱导出两角和与差的正弦公式，最后通过商数关系得出正切公式。公式推导完成后，全班齐读两遍，强化瞬时记忆。

环节三：问题链驱动，攻克“变角”难点

核心问题链：问题1（基础型）：已知 ( \sin\alpha = \frac{3}{5}, \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi) )，求 ( \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) ) 的值。问题2（变式一）：已知 ( \cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}, \cos(\alpha - \beta) = -\frac{4}{5} )，且 ( \alpha + \beta \in (\frac{7\pi}{4}, 2\pi), \alpha - \beta \in (\frac{3\pi}{4}, \pi) )，求 ( \cos2\alpha ) 的值。问题3（变式二）：已知 ( \tan\alpha, \tan\beta ) 是方程 ( x^2 - 3x - 2 = 0 ) 的两个根，求 ( \tan(\alpha + \beta) ) 的值。 师生活动：

对问题1，教师先让学生独立完成，然后指定一名学生板演，其余学生纠错。着重强化“算 ( \cos\alpha ) 时注意符号”这一易错点。
对问题2，教师不直接讲解，而是抛出提示：“所求角 ( 2\alpha ) 与已知角 ( \alpha + \beta, \alpha - \beta ) 有什么关系？”让学生同桌讨论，尝试写出 ( 2\alpha = (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) )。领悟之后，学生自主完成，教师巡视并挑选典型错例投影分析。
对问题3，学生快速识别出需要利用韦达定理和两角和的正切公式，口述计算过程，教师板书规范格式。 设计意图：三个问题由浅入深，形成“直接代入—变角配凑—结构转化”的梯度，让学生完整经历“给值求值”的典型路径，重点突破“如何观察已知角和未知角的关系”的思维盲区。

环节四：梳理变角策略，形成解题习惯

教师活动：引导学生回顾上述三题，共同总结变角常用策略：

当所求角为单个角时，看它是否为已知角的和、差或倍半，如 ( 2\alpha = (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) )。
当所求角为非特殊角时，试着拆分为两个特殊角的和差，如 ( 15^\circ = 45^\circ - 30^\circ )。
当题目给出角较为复杂时，可考虑整体代换，如设 ( A = \alpha + \beta, B = \alpha - \beta )。 学生活动：在笔记本上快速记录三条策略，并依策略自己命制一道简单的变角题，与组员交换练习。

环节五：课堂小结与分层作业

小结：师生共同用思维导图形式回顾公式体系，用关键词“定义奠基—向量推导—变角应用”串起整节课。作业：

基础题：课本练习题第2、3题（直接套公式）。
提升题：已知 ( \sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}, \sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{3} )，求 ( \frac{\tan\alpha}{\tan\beta} ) 的值。
探究题：尝试用两角和差公式推导三倍角公式 ( \sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha )。

板书设计

（左侧主板书）一、两角差的余弦公式 ( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta ) 二、衍生公式 ( \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta ) ( \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta ) ( \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} ) 三、例题分析例2 关键变形：( 2\alpha = (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) )

（右侧副板书）向量法示意图（简单圆与坐标）变角三策略： ① 拆已知角 ② 组已知角 ③ 整体换元

设计意图

本节课立足“变角”这一核心难点，采用“问题链”驱动教学，避免直接灌输。推导环节让向量工具与坐标法并行，既巩固基础知识又让学生体会公式的自然生成。例题设置由单角求值逐步过渡到复角配凑，再结合韦达定理做结构联系，覆盖了公式应用的多元情境。课堂中多次安排学生板演、小组讨论、自主编题，将“分析角关系”这一隐形思维过程外显化，有利于形成可迁移的运算策略，真正实现从“会套公式”到“能分析问题”的转变。