包装扑克教案

课程名称	课时安排	教学类型	授课对象
数学·包装扑克	40分钟	新授课	五年级（普通城市校小学高年级）

教材版本	授课教师	教学主题	课标依据
（未指定）	__________	长方体表面积的理解与应用、组合包装优化	《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心素养：量感、运算能力、数感、符号意识

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一、教材分析

本课是“长方体和正方体”知识板块中“表面积”概念形成及其实际应用的关键课。学生在低年级已经认识长方形、正方形，会计算长方形面积；本单元前面又学习了长方体的面、棱、顶点等基本特征。本课以“包装扑克”这一贴近学生生活的真实任务为载体，要求学生把两盒扑克牌包成一包，自然产生“需要多大包装纸”的问题。解决这个问题，既需要把立体图形转化为平面展开图，理解“表面积就是6个面的总面积”，又需要运用长方形面积公式进行组合计算，还隐含着“重叠的面不露天、越省材料”的最优化思想。因此，本课既是长方体特征认识的深化，也是后续学习体积、容积以及更复杂立体图形表面积计算的经验基础。课标强调量感与几何直观的培育，本课通过拆盒、展开、比画、估算等操作活动，让学生感知面的大小、面积之和与空间形态的关系，逐步形成用数据说话的意识。教学中应避免过早进入大量公式计算，而应让学生在充分操作和讨论中自主建构表面积的意义和计算方法。

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二、学情分析

授课对象为普通城市校五年级学生，学习水平呈“两端分化明显、中等生为主体”的分布。学生已有的知识基础包括：能描述长方体有6个面、12条棱、8个顶点，能辨认相对的面完全相同；会计算长方形面积；在生活中见过或拆过包装盒，积累了一定的感性经验。但就本课而言，存在三个主要障碍：第一，对“表面积”的理解容易停留在“六个面面积加一加”的机械层面，不能把展开图与立体图形一一对应，尤其遇到竖放、侧放时容易把高和宽混淆；第二，计算组合体表面积时，容易按两个独立盒子分别计算后简单相加，忽略重叠面藏在内部、不需要包装纸这一关键事实；第三，部分中等生和学困生对公式中三个“×2”的来源缺乏直观理解，只会套公式，导致代入错误率上升。此外，家庭辅导参差不齐，因此课堂须提供实物拆解、展开图、示意图等多重支架，并安排同桌互说、小组辨析等同伴互动，让不同层次的学生都能在操作中理解概念、在交流中矫正错误，确保教学目标落到“理解”层面，而非机械记忆公式。

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三、教学目标（核心素养导向）

1. 【对应核心素养：量感】知识与技能目标： 通过拆解扑克牌包装盒、观察长方体展开图并对照实物比画面积的活动，学生能解释长方体表面积的含义，能用自己的话说清“六个面的面积总和”，并能指出展开图中每个面与长方体各个面的对应关系。

2. 【对应核心素养：运算能力】过程与方法目标： 通过计算一盒与两盒包装所需包装纸面积的活动，学生能描述长方体表面积的计算方法（先算三组相对面的面积，再相加），能运用公式 $S=2(ab+ah+bh)$ 正确列式并算出结果，同桌互查时能说明每一步的含义。

3. 【对应核心素养：数感】情感态度/价值观目标： 通过比较三种包装方案的计算数据，学生能举例说明“重叠的面越大、露出的面越少，越省材料”，能依据数据大小判断最省纸方案，并用自己的话解释判断理由。

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四、教学重难点

类别	要点
教学重点	①理解长方体表面积的含义：6个面的总面积 ②能正确运用表面积公式 $S=2(ab+ah+bh)$ 列式计算
教学难点	①理解“重叠的面藏在里面，不需要包装”，能从“减少的面”的角度推理最省纸方案，而非仅凭直观猜测 ②正确识别组合体每个面对应的长、宽、高，避免高宽混淆

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五、教学资源与准备

教师准备： 扑克牌包装盒实物（或长方体纸盒）两个、可沿棱拆开的展开图模型、多媒体课件（含展开图动态演示）、彩色卡纸、直尺、剪刀、磁性黑板贴、课堂练习单。

学生准备： 长方体纸盒一个（如药盒、茶叶盒）、直尺、铅笔、彩笔、草稿纸；课前观察家中长方体包装盒有几个面，不指定课本页码。

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六、教学过程（总时长 40 分钟）

环节1：创设情境（5分钟）

教师活动： “同学们，快过年了，老师买了两盒扑克牌想送给朋友。直接送两盒散装的不够美观，如果把它们包成一包，像这样把两盒叠在一起，至少需要多大一张包装纸呢？今天我们就来研究《包装扑克》背后的数学问题。”稍作停顿，举起一盒扑克：“先看这一盒，它是什么形状？”学生回答“长方体”后继续追问：“长方体有几个面？谁来摸一摸、数一数？”请一名学生上台摸盒，数出6个面。“每个面是什么形状？”（长方形）。“这两盒扑克如果分开包装，每盒都要包它的6个面；合在一起包，需要包住新组合体的所有外表面。无论哪种，我们都需要先知道：长方体所有表面的总面积是多少，数学上叫‘表面积’。”教师板书课题，同时出示一个展开图：“其实，把长方体沿棱剪开，就是这样一个平面图形，6个面清清楚楚。今天我们就借助它来研究表面积。”追问：“展开图中，哪两个面是相对的？它们的大小有什么关系？” 板书要点： 中央写“包装扑克——长方体表面积”，下方列“上、下、前、后、左、右”6个面的名称。

学生活动： 学生观察老师手中的扑克盒，齐答“长方体”；一名学生上台摸面、数面，说出“盒子有6个面，每个面是长方形”。预设回答：“上面的面和下面的面一样大”“前面和后面一样大”。当老师出示展开图时，学生主动举手指出上下面、前后面、左右面，部分学生在指认时把“前面”和“左面”说反，教师请其他同学纠正。最后，学生七嘴八舌地猜：“包装纸是不是就是把6个面的纸加起来？”初步形成“表面积”的直觉。

设计意图： 从“送礼物包一包”的生活情境切入，激活学生对长方体面的已有认识，制造“包装纸到底要多大”的认知冲突，自然引出表面积概念，为后续拆盒操作和公式推导做情感与知识上的准备。

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环节2：探究新知（12分钟）

教师活动： “请同学们拿出课前准备的长方体纸盒，沿棱剪开，观察展开后的图形。”教师示范剪开一个扑克盒，边剪边提醒：“注意沿棱剪，不要剪断面与面的连接处。”学生操作后，教师提问：“数一数，展开图中有几个面？请你把上、下、前、后、左、右分别标出来。”学生标完后，教师追问：“这6个面中，哪些面完全相同？为什么？”引导学生发现：相对的面面积相等，因为每组相对面的长和宽分别相同。随后教师在黑板上画出示意图并板书：“如果用字母 $a$ 表示长、$b$ 表示宽、$h$ 表示高，那么上下面面积是 $ab$，前后面面积是 $ah$，左右面面积是 $bh$。每组有2个相同的面，所以长方体表面积 $S = 2ab + 2ah + 2bh = 2(ab + ah + bh)$。”接着用扑克盒实际尺寸（长9厘米、宽6厘米、高2厘米，取近似整数方便计算）完整演示：

$$S = 2(9 \times 6 + 9 \times 2 + 6 \times 2) = 2 \times (54 + 18 + 12) = 168\ (\text{cm}^2)$$

提问：“168平方厘米大约有多大？相当于你手掌摊开的大小，还是数学书封面的大小？”让学生用手比划，建立量感。 板书要点： 左分支写“含义：6个面的总面积，相对面相等”；右分支写“公式：$S=2(ab+ah+bh)$”；中央下方写例题算式 $168\ \text{cm}^2$。

学生活动： 学生动手拆盒，有人剪错棱导致展开图散成两片，在教师巡视提示下重新粘贴观察。他们给6个面标上“上、下、前、后、左、右”，小组内互相检查。预设回答：“我发现上面和下面用的纸一样大，因为都是长×宽”“前面和后面也都是长×高”。学生尝试复述公式，完成练习单上的计算：$2(9\times6+9\times2+6\times2)=168$。有学生问：“为什么要乘2？”同桌马上解释：“因为有两个一样的上面，两个一样的前面，两个一样的左面。”教师追问“还有没有别的算法”，有学生回答：“可以先算一个上面、一个前面、一个左面，再乘2。”学生用手比划168平方厘米的大小，有说“像一张A5纸”，有说“比手掌大一点”，逐步建立面积大小的直观感觉。

设计意图： 通过拆盒与展开图，让学生经历从立体到平面的转化，亲眼看到6个面，理解“相对面相等”，从而理解公式中“×2”的来历，避免死记硬背；在算一算、比一比中发展量感和几何直观。

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环节3：变式练习（8分钟）

教师活动： “现在难度升级：两盒扑克要包成一包，有几种摆法？”学生说出“叠起来”和“并排”。教师用两个盒子演示并板书两种摆法，分别标注新长方体的长、宽、高。然后逐题推进：

例1：一盒扑克牌长9厘米、宽6厘米、高2厘米，求它的表面积。学生口答，教师板书：$S=2(9\times6+9\times2+6\times2)=168\ \text{cm}^2$。

例2：两盒上下叠放（最大的面重叠），需要多少包装纸？教师引导：“叠放后，长还是9厘米，宽还是6厘米，高变成多少？”（4厘米）完整列式：

$$S=2(9\times6+9\times4+6\times4)=2\times(54+36+24)=228\ (\text{cm}^2)$$

例3：两盒左右并排（侧面重叠），需要多少包装纸？教师提示：“并排后，宽还是6厘米，高还是2厘米，长变成多少？”（18厘米）列式：

$$S=2(18\times6+18\times2+6\times2)=2\times(108+36+12)=312\ (\text{cm}^2)$$

教师追问：“同样是两盒扑克，为什么第一种比第二种省纸？”引导学生关注“藏起来的面”：叠放时两个 $9\times6=54\ \text{cm}^2$ 的面重叠，露出的面少；并排时重叠的是 $6\times2=12\ \text{cm}^2$ 的面，减少得少。再补充一种摆法：前后并排，长9厘米、宽12厘米、高2厘米，$S=2(9\times12+9\times2+12\times2)=300\ \text{cm}^2$。提问：“比一比三个结果，你们发现什么规律？” 板书要点： 三种摆法的示意图、新长宽高、三个算式及结果228/312/300，对比“重叠面面积：54、12、18”。

学生活动： 学生在练习单上画出两种摆法的简图，标出新长方体的长、宽、高，独立列式。预设回答：“叠放后高是4厘米”“并排后长是18厘米”。同桌互查算式，比较三个结果，发现“摆法不同，表面积不同”。有学生说：“叠放最省纸，因为把最大的面藏在里面了。”教师请他上台指一指“藏起来的是哪两个面”，该生指着两个盒子的底面和顶面说：“这两个面贴在一起了，不用包。”少数学生列式时仍把叠放后的高写成2，同桌提醒后改正。 设计意图： 通过“单盒—叠放—并排—前后并排”的变式练习，让学生从“算一个盒子”迁移到“算组合体”，体会重叠面变化对表面积的影响，为提炼优化规律提供数据支撑。

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环节4：错误辨析（8分钟）

教师活动： “老师发现有个同学是这样算的：先算一盒需要168平方厘米，两盒就是 $168\times2=336$ 平方厘米。他说包两盒需要336平方厘米包装纸。你们同意吗？”组织小组讨论，请不同意见的双方各派代表发言。随后教师用两个扑克盒叠放演示：“大家看，这两个盒子贴在一起，中间的两个面被完全挡住，手能摸到吗？能包上纸吗？”学生摇头。“所以336多算了中间那两个面。重叠面的面积是 $9\times6=54\ \text{cm}^2$，有两个这样的面，所以要减去 $54\times2=108$，正确答案是 $336-108=228\ \text{cm}^2$。这和我们按新长方体算出的结果一样。”接着出示第二道辨析：若两盒前后并排，该怎么减？引导学生列式：$336-2\times(6\times2)=336-24=312$。教师总结：“组合体表面积=两个独立表面积之和−2×重叠面面积。重叠面越大，减去的越多，越省纸。” 板书要点： 中央下方写错例“$168\times2=336$”，用红色粉笔打“×”；旁边写正确列式“$336-2\times54=228$”“$336-2\times12=312$”；下方写规律“重叠面越大，减去的越多，越省纸”。

学生活动： 学生先判断错例，多数能说“不对”，但说不清原因；小组讨论后，借助实物或图示说明：“中间两个面被遮住了，不能算。”预设错误想法：“减一个面就可以了。”教师用两个盒子演示后，学生修正为“两个盒子各有一个面重叠，所以要减两个面的面积”。学生独立完成辨析练习，并用自己的话向同桌解释“并排时为什么要减 $2\times12$”。练习中有学生提出：“如果两个盒子并排时小面重叠，减得就少，所以不省纸。”教师顺势引导全班重复规律。 设计意图： 针对“重叠面漏减”这一高频错误，通过错例辨析、实物验证、变式追问，把易错点转化为理解深化的生长点，帮助学生真正建立“表面积是露在外面的面的面积”的本质认识。

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环节5：总结提升（4分钟）

教师活动： “今天你学会了什么？能用自己的话讲给同桌听吗？”学生互说后，教师指名汇报，并板书知识结构图：中央写“长方体表面积”，左分支写“含义：6个面的总面积”，中部分支写“计算方法：$S=2(ab+ah+bh)$”，右分支写“组合优化：$S=S_1+S_2-2S_{\text{重叠}}$，重叠面越大越省纸”。“求表面积的一般步骤是什么？”引导学生归纳：先找长、宽、高，再代入公式或分组计算。最后提出思考题：“如果要把三盒扑克包成一包，怎样摆最省纸？为什么？”学生推测“三盒叠放最省纸”，理由是“三盒叠放时重叠的面最大”。教师不要求当堂计算，留作课后思考，并强调：“解决问题时，不光要看怎么算，还要想哪部分不用算，这就是数学的优化思想。” 板书要点： 中央知识结构图：含义—公式—优化规律；下方写“三盒？叠放最省纸？（待验证）”。

学生活动： 同桌互说计算方法，用“我先……再……最后……”的句式描述。预设回答：“先找出长方体的长、宽、高，再算三个不同面的面积，分别乘2，最后加起来。”另一名学生补充：“两个盒子叠起来时，要先看重叠的是哪个面，再减去两个重叠面的面积。”对于三盒问题，学生回答“叠起来最省纸，因为叠起来藏的面最大”，也有学生补充“要把最大的面都叠在一起”。教师追问“四盒呢”，学生一时答不出，教师说明下节课继续探索。 设计意图： 通过复述、结构图和开放思考题，帮助学生把零散经验上升为可迁移的数学方法，发展概括能力和优化意识，同时为后续学习埋下伏笔。

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环节6：作业设计（3分钟）

教师活动： 教师布置分层作业并逐题说明要求。基础题：“一个长方体纸盒，长12厘米、宽8厘米、高3厘米，求它的表面积。这道题直接应用公式，请写清过程。”提高题：“把两个这样的纸盒包装成一包，设计两种不同的包装方案，画出简单示意图，分别计算需要多少包装纸，并写出哪种方案更省纸、为什么。可以回家找两个相同的小纸盒摆一摆再算。”强调：“选做题量力而行，做完后可以讲给家长听，让家长帮你检查思路。”同时说明完成时间控制：基础题约8分钟，提高题约10分钟，合计约18分钟，符合“书面作业每天不超过60分钟”的减负要求。最后预告：“下节课我们将用今天的方法研究三盒、四盒的包装问题，看谁先找到最省纸的规律。” 板书要点： 作业区写“基础：12×8×3 求表面积；提高：两种摆法+示意图+比较原因”。

学生活动： 学生记录作业，齐读题目中的数据。有学生问：“提高题一定要画图吗？”教师答：“画图能帮助你找到重叠的面，建议画，也可以直接用算式说明，但要把思路写清楚。”学生点头表示理解。同桌之间互相提醒：“别忘了减去重叠的两个面。”还有学生表示“明天我要试试三盒的摆法”，教师鼓励并约定明天交流。 设计意图： 分层作业兼顾不同水平学生，基础题巩固公式应用，提高题迁移优化规律，体现“理解”层级的目标要求；口头讲解给家长听是一种解释性评价，既控制书面作业时长，又促进亲子交流。

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七、板书设计

板书区域	内容要点
中央主题	包装扑克——长方体表面积
左分支	含义：6个面的总面积 → 相对的面相等
右分支	公式：$S=2(ab+ah+bh)$（上/下 $ab$，前/后 $ah$，左/右 $bh$）
例题区	一盒扑克 $9\times6\times2$：$2(9\times6+9\times2+6\times2)=168\ \text{cm}^2$
对比区	叠放 $S=228$；并排 $S=312$；前后并排 $S=300$
规律栏	组合体：$S=S_1+S_2-2S_{\text{重叠}}$；重叠面越大越省纸

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八、作业设计

基础作业（必做）：

1. 一个长方体纸盒，长12厘米、宽8厘米、高3厘米，求它的表面积。要求写出完整计算过程，并用自己的话向同桌或家长解释每一步表示哪个面。（预估用时：8分钟）

拓展作业（选做）：

1. 把两个这样的纸盒包装成一包，设计两种不同的包装方案，画出简单示意图，分别计算需要多少包装纸，并说明哪种方案更省纸、为什么。（预估用时：10分钟）
2. 思考：如果三盒叠放，怎样摆最省纸？能用今天的规律说明理由吗？（口头思考，不要求书面完成）

合计预估时长：18 分钟（符合双减政策：书面作业不超过60分钟/天，含所有科目合计）

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九、核心公式与定理速查表

序号	公式/定理名称	LaTeX 表达式	适用范围
01	长方形面积公式	$S = a \times b$	求长方体任一面面积（$a$、$b$ 为该面的长与宽）
02	长方体表面积基本公式	$S = 2(ab + ah + bh)$	已知长方体长 $a$、宽 $b$、高 $h$，求表面积
03	表面积分步计算式	$S = 2ab + 2ah + 2bh$	分步列式防漏项，便于检验
04	组合体表面积计算	$S = S_1 + S_2 - 2S_{\text{重叠}}$	两个长方体组合包装时求外露面积
05	每组相对面面积	$S_{\text{上}}=ab,\ S_{\text{前}}=ah,\ S_{\text{侧}}=bh$	识别各面对应的长、宽、高，防止混淆

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教学反思模板（课后填写）

1. 目标达成情况：（学生是否达到“解释、描述、举例说明”等理解层级目标？有哪些证据？）
2. 学生参与情况：（拆盒操作、小组讨论、错例辨析中学生的参与度与生成性问题？）
3. 教学调整记录：（哪个环节用时超出/不足？哪些追问有效？哪些例题需要替换？）
4. 下节课改进方向：（三盒、四盒包装优化如何铺垫？后进生的公式运用如何进一步巩固？）

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本教案由 BestTeach AI 辅助生成，依据《人工智能生成合成内容标识办法》（国信办通字〔2025〕2号）第四条标识。教师应独立审核修改后使用。