组合图形的面积教案

课程名称	课时安排	教学类型	授课对象
数学·组合图形的面积	40分钟	新授课	小学五年级（普通城市校）

教材版本	授课教师	教学主题	课标依据
（未指定）	__________	组合图形面积计算与转化思想的建构	《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形与几何”领域，落实量感、符号意识、运算能力等核心素养

---

一、教材分析

“组合图形的面积”是小学阶段平面图形面积计算的综合应用内容，属于“图形与几何”领域中“图形的认识与测量”主题。在此之前，学生已经系统学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形等基本图形的面积公式，能够用公式直接计算规则图形的面积；本课是在这些知识基础上的综合与提升。教材通常以现实情境（如墙面粉刷、地面铺砖、花坛设计）引出组合图形，引导学生通过画辅助线将组合图形分割或添补为基本图形，再利用基本图形的面积公式进行计算。

本课蕴含的核心思想是“转化”：将未知的、不规则的组合图形转化为已知的、规则的基本图形来求解。这一思想在后续学习圆的面积、圆柱与圆锥的表面积以及更复杂图形面积问题时会被反复运用，因此本课具有承上启下的重要地位。同时，本课也是发展学生量感、几何直观和运算能力的重要载体。通过本课学习，学生能够认识到“同一个图形的面积不因拆分方式不同而改变”，逐步形成多角度观察、灵活选择策略的思维品质，为后续深入学习几何知识奠定方法基础。

二、学情分析

五年级学生已经掌握了长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形的面积公式，能够较熟练地计算基本图形的面积，具备一定的动手操作能力，能在教师引导下尝试在图形上画辅助线，但辅助线的画法和尺寸标注还不够规范。

本课是学生第一次面对“由多个基本图形拼合而成”的求面积问题。普通城市校的学生两端分化明显、中等生为主体，家庭辅导水平参差不齐。一部分学生空间想象能力较强，能够较快发现组合图形的拆分思路；另一部分学生只能识别标准的基本图形，面对组合图形时不知道从哪里下手，或者分割后标错尺寸，将原图的总尺寸误当作分割后某一小部分的尺寸。学生已有的认知基础是“面积就是公式直接套用”，而本课需要打破这一单一思维，引导他们完整经历“观察图形—画线转化—列式计算”的过程。

学生在学习过程中常见的障碍包括：不知道辅助线应该画在哪里；分割后无法确定每个部分的尺寸；使用添补法时忘记减去补上的部分；对“同一个图形可以有不同拆分方法”缺乏意识，认为只有一种正确解法。因此，教学需要注重动手画图与交流对比相结合，借助直观演示帮助学生建立转化思想，同时通过典型错误辨析，预防分割尺寸误读和添补遗漏等问题。

三、教学目标（核心素养导向）

1. 【对应核心素养：量感】知识与技能目标： 通过观察“L形墙面”等组合图形的构成，学生能解释组合图形与基本图形（长方形、正方形等）之间的分合关系，并能用自己的话描述“分割法”与“添补法”分别适用于具有怎样特征的图形。
2. 【对应核心素养：符号意识】过程与方法目标： 通过画辅助线并列出算式拆分图形，学生能描述“先算各部分面积再相加”与“用整体面积减去空白部分面积”两种算式结构的不同，并能举例说明算式中每一步对应的图形部分。
3. 【对应核心素养：运算能力】情感态度/价值观目标： 通过独立列式计算与结果互检，学生能区分分割法与添补法的适用情境，并能用自己的话解释“不同拆分方式计算结果相同”的道理，举例说明选择较简便计算路径在实际解决问题中的价值。

四、教学重难点

类别	要点
教学重点	① 用“分割法”将组合图形分解为基本图形，分别计算面积后相加 ② 画辅助线时必须落在已知尺寸上，确保分割后每个部分的尺寸可追溯
教学难点	① 理解“添补法”中“整体减空白”的逆向思路 ② 根据图形特征灵活选择分割法或添补法，避免机械套用

五、教学资源与准备

教师准备： 多媒体课件（L形墙面图、缺角长方形动态演示、典型错例投影）、卡纸剪成的组合图形若干、磁贴教具、板书用大刻度直尺、课堂练习单。

学生准备： 直尺或三角板、铅笔、橡皮、彩色笔；课前回顾长方形和正方形的面积公式。

六、教学过程（总时长 40 分钟）

环节1：创设情境（5分钟）

教师活动： 课件出示学校文化墙转角处需要粉刷的一面墙的实景照片，同步抽象出红色“L形”示意图。教师提问：“同学们，工人叔叔要在学校文化墙的转角处粉刷这面墙，课件中红色部分就是需要粉刷的面积。他只带了卷尺，量出了每条边的长度，却一时想不出怎样算这面墙的面积。你能帮帮他吗？”

教师追问：“在动手之前，我们先回忆一下，计算长方形和正方形的面积用哪些公式？”学生口答后，课件同步出示公式：$S = a \times b$，$S = a^2$。

教师指着L形图形继续提问：“这面墙的形状是长方形吗？是正方形吗？它和刚才复习的基本图形有什么不同？”预设学生回答：“它像英文字母L，是由两个长方形拼起来的。”教师追问：“那你能不能用自己的话说一说，它是怎么拼的？”学生说：“左边一个竖着的长方形，右边一个横着的长方形，连在一起。”

教师顺势揭示课题：“像这样由两个或两个以上的基本图形拼成的图形，我们称它为‘组合图形’。今天我们就来研究——组合图形的面积。”（板书课题）

学生活动： 观察情境图，齐声回忆公式：“长方形面积等于长乘宽，正方形面积等于边长乘边长。”有学生小声说：“这个图形不是长方形，是L形！”教师追问后，学生用自己的话说：“它是两个长方形拼在一起的。”部分学生跃跃欲试，说：“老师，我还能把它看成一个大长方形剪掉一小块。”教师肯定并保留这一思路：“你说的是一个很特别的想法，我们待会儿来验证。”

设计意图： 从学生熟悉的校园生活情境切入，在解决真实问题的需求中激活已有的面积公式经验；通过“它是什么图形”的认知冲突，自然引出组合图形的概念，激发探究欲望，为后续学习做好心理和知识准备。

板书设计要点： 中央板书课题“组合图形的面积”；左侧公式栏：长方形 $S = a \times b$，正方形 $S = a^2$；同时张贴L形示意图，用红色色块标示墙面部分。

---

环节2：探究新知（15分钟）

教师活动： 课件放大L形示意图并标注全部尺寸：图形总高8米、总宽8米；左上凸出部分宽3米、高4米；右下横放部分长5米、高4米。教师逐条指认：“工人叔叔量出来的数据是这样的：整面墙左边这条竖边是8米，底边是8米；左上角这一块宽3米、高4米；右下角这一块长5米、高4米。”

教师在计算前先引导学生估算：“请大家先估一估，这面墙的面积大约是多少平方米？”预设学生回答：“把它看成8×8的大正方形，面积是64平方米，但缺了一块，所以大约是40多平方米。”教师肯定：“你想到了用大正方形来估，这个思路很有价值！”

随后布置操作任务：“请同学们在练习单的图上，用直尺画出辅助线，把这个组合图形分成我们已经学过的基本图形，然后列出算式算出面积。完成后和同桌说一说：你是怎么分的？为什么要这样分？你每一步算的是哪一块图形？时间3分钟。”

教师巡视指导，重点关注学困生的辅助线画法和尺寸标注，收集两种典型分法并请学生上台板演。

学生板演后，教师组织对比交流：

方法一（竖切）：把L形分成左边一个宽3米、高8米的长方形和右边一个长5米、高4米的长方形。

$$3 \times 8 + 5 \times 4 = 24 + 20 = 44 \text{（平方米）}$$

教师追问：“右边图形的长5米是从哪里找到的？”学生回答：“总宽8米减去左边3米，等于5米。”

方法二（横切）：把L形分成下面一个长8米、宽4米的长方形和左上角一个宽3米、高4米的长方形。

$$8 \times 4 + 3 \times 4 = 32 + 12 = 44 \text{（平方米）}$$

教师引导全班观察：“两种分法不同，算式也不一样，为什么计算结果都是44平方米？”学生回答：“因为求的是同一面墙的面积。”教师总结：“同一个组合图形可以有不同的分割方式。只要把每个基本图形的边长找准确，结果就一定相同。”

最后引导学生归纳“分割法”的一般步骤，并板书：一看——观察组合图形由哪几个基本图形组成；二切——用辅助线把它分成基本图形；三算——分别计算各部分的面积再相加。

学生活动： 学生先目测估算，有学生说：“我把它看成8×8的大正方形，64平方米，缺了一块，大约50平方米。”教师追问：“你为什么这样想？”学生答：“因为它比大正方形少了一块。”

随后学生独立画辅助线并计算，同桌交流时一位学生说：“我把竖线画在3米的地方，左边一个长方形的宽是3米、高8米，右边那个长方形的长是5米、高4米。”另一位学生说：“我画横线，下面一个长方形是8×4，上面还剩一个3×4的小长方形。”

学生听同伴讲解后，用自己的话复述：“要把辅助线画在已知尺寸的地方，分出来的每一块都要能算出来。”有学生出现困惑：“老师，右边那个长方形的长是8米吗？”教师暂不直接纠错，说：“这个问题等一会儿我们专门研究。”板演学生讲解后，教师追问：“你为什么选择在这里画辅助线？”学生答：“因为3米这个数据标在这里，我沿着它的边画，分出来的图形就有已知尺寸了。”

设计意图： 学生经历“观察—估算—画线—计算—对比—归纳”的完整探究过程，在两种分法的比较中初步建立“分割法”的操作步骤，理解转化思想；估算环节发展数感，动手画图发展量感与几何直观，算式与图形的一一对应则强化运算能力和符号意识。

板书设计要点： 方法一（竖切）：$3 \times 8 + 5 \times 4 = 44$（平方米）；方法二（横切）：$8 \times 4 + 3 \times 4 = 44$（平方米）；中间归纳：分割法——一看、二切、三算。

---

环节3：变式练习（8分钟）

教师活动： 课件出示新情境：教室后面要布置“数学园地”，需要贴装饰板的部分是一个“缺角长方形”——大长方形长8米、宽6米，右上角被切去一个长3米、宽2米的小长方形，红色区域为需要贴的面积。

教师提问：“这个图形还是组合图形吗？它和刚才的L形有什么不同？”学生回答：“它是长方形缺了一个角，像被切掉一块。”教师引导：“你们能用分割法算一算吗？请在练习单上先试一试。”

学生尝试后，展示分割法（竖切）：左边长方形长5米、宽6米，右边长方形长3米、宽4米。

$$5 \times 6 + 3 \times 4 = 30 + 12 = 42 \text{（平方米）}$$

教师追问：“老师还有一种不用拆开就能算的方法，你们想到了吗？”若学生想不出，教师提示：“如果在这个缺角的地方‘补’上一块（课件动态演示：闪动补上的3×2小长方形），它会变成什么图形？”学生发现：补上后变成一个完整的长8米、宽6米的大长方形。

教师完整板书“添补法”的解答过程： 先算补全后大长方形的面积：

$$8 \times 6 = 48 \text{（平方米)}$$

再算补上的小长方形面积：

$$3 \times 2 = 6 \text{（平方米）}$$

最后用大图形的面积减去补上的面积：

$$48 - 6 = 42 \text{（平方米）}$$

教师组织对比：“分割法要算两个面积再相加，添补法也是两个面积但用减法。你觉得哪种方法计算更简便？为什么？”学生回答：“添补法算式短、步骤少，比较简便。”教师补充：“添补法的关键是先把组合图形看成一个大图形，再减去空缺的部分。补上的那一块，最后一定要减掉！”

教师继续追问：“什么样的图形适合用添补法？”引导学生用自己的话总结：“当组合图形是从一个较大的基本图形中切掉一部分时，用添补法很方便。”

学生活动： 学生先用分割法尝试计算，有学生竖切列式 $5\times 6+3\times 4=30+12=42$（平方米），有学生横切列式 $5\times 2+8\times 4=10+32=42$（平方米）。

在教师提示“补上一块”后，有学生恍然大悟：“我知道了，先用大长方形的面积减掉缺的那个小长方形的面积！”教师追问：“你为什么觉得添补法更简单？”学生答：“因为不用想怎么切，直接补成一个大长方形就行。”

还有学生提出疑问：“可是补上的那部分不在原来的图形里，为什么要减？”另一个学生解释：“因为它不是我们要贴的部分，所以要减掉。”教师补充：“减去的正是‘补出来的空白’。”

设计意图： 用“缺角长方形”作为变式，打破学生“解决组合图形问题只会分割”的思维定势；通过补图动态演示，帮助学生直观建立“整体−空白”的计算模型，理解添补法的逆向思路，并在两种方法的对比中体会方法优化，发展运算能力和量感。

板书设计要点： 缺角图形示意图（长8米、宽6米，右上缺3米×2米）；分割法：$5 \times 6 + 3 \times 4 = 42$（平方米）；添补法：$8 \times 6 - 3 \times 2 = 48 - 6 = 42$（平方米）；关键词：整体减空白。

---

环节4：错误辨析（6分钟）

教师活动： 课件出示两份匿名错例。

错例一：在L形墙图形中，学生竖切后把右边长方形的长标为8米，列式 $3 \times 8 + 5 \times 8 = 64$（平方米）。教师在图上圈出错误位置，标明：右边长方形的长不是8米，而是5米；高是4米。8米是整个图形左边竖边的总高，不能直接当作右边长方形的长。

错例二：在缺角长方形中，学生用添补法列式 $8 \times 6 = 48$（平方米）后就直接作答，没有减去补上的 $3 \times 2 = 6$（平方米）。

教师提问：“这两份作业各错在哪里？请仔细观察，把错误找出来，然后和同桌小声说一说。”学生交流后请代表发言。

针对错例一，教师追问：“怎样画辅助线才不会标错尺寸？”引导学生总结：“辅助线要画在已知尺寸标出的地方；分割后每个图形所需要的尺寸，必须能在原图中找到依据；找不到的，要通过已知数推算出来，并在图上标注。”

针对错例二，教师追问：“用添补法时，怎么提醒自己不忘记减掉补上的那一块？”学生总结：“算完以后指着图形说一遍‘我减掉的这一块在哪里’，如果说不出，说明肯定有地方出错了。”

教师补充一种检验策略：“还有很好的验证方法——用另一种方法把同一个图形重算一遍，如果两次结果相同，说明基本正确；如果不同，就说明至少有一个环节出了问题。”

学生活动： 学生观察错例后指出：“第一位同学错在把8米当成右边长方形的长了，8米是左边那条竖边的总高，右边横着的长方形长是5米、高是4米。”另一个学生补充：“第二个同学忘记减掉缺的那一小块了，缺的那块是3×2=6，应该用48−6=42。”

同桌互查时，一位学生边说边指着自己的练习单：“你看，我这一步算的是左边这个长方形的面积，它的尺寸是从原图上找到的；下一步算的是右边长方形的面积，5米是8−3推出来的。”另一位学生反思：“我以前就犯过这样的错误，总把大图形的尺寸直接用到小图形上。今天我学会了，要一个一个图形地标尺寸。”

设计意图： 通过两个典型易错案例，将“分割后尺寸误读”和“添补后忘记减空白”这两个系统性错误显性化；学生在诊断错误、纠正错误的过程中，真正理解辅助线的作用和算式的结构，形成自觉检验的意识，强化运算能力。

板书设计要点： 错例1警示——分割后尺寸要独立核对（8米≠小长方形长）；错例2警示——添补法要减去补上的空白；检错方法——算完指图形、换法互验。

---

环节5：总结提升（4分钟）

教师活动： 教师提问：“今天这节课，我们学会了求组合图形面积的哪些方法？请用自己的话说一说。”学生回答后，教师板演知识结构：分割法（分而求和）与添补法（整减空白），并在两者上方写出“转化”。

教师组织比较：“现在再想一想，什么样的图形适合用分割法？什么样的图形适合用添补法？”预设学生回答：“L形沿凹进去的地方切，分割起来比较直观；缺了角的长方形，补回去就是一个完整图形，用添补法比较方便。”教师补充：“实际上，同一个组合图形既可能分割，也可能添补。我们要先观察图形的特征，再选择计算步骤少、不容易出错的方法。”

教师继续总结：“不管用分割还是添补，我们都在做同一件事——把组合图形转化为基本图形。所以，组合图形的面积等于基本图形面积的和或差。”并补充渗透转化思想：“把一个不会算的图形变成会算的图形，这种思路在以后的数学学习中会经常用到。”

最后布置口头任务：“请同桌互相举一个例子，说明你分别会选用哪种方法，并说说理由。”

学生活动： 学生用自己的话概括：“组合图形的面积，要么把它分成几个图形加起来，要么先把它补成一个大的，再减掉补上去的那一块。”同桌互举例子：“我拿缺角长方形举例，分割法要算两部分，添补法也算两部分但算式更简单，所以我会选添补法。”有学生提问：“老师，能不能既用分割法又用添补法？”教师表扬并回应：“可以，更复杂的组合图形有时需要两种方法配合，这也是我们今后要学习的。”还有学生边指板书边说：“不管是分还是补，都是把不会算的图形变成会算的图形。”

设计意图： 通过回顾归纳，将零散的操作经验上升为方法结构，帮助学生建立“组合图形面积等于基本图形面积的和或差”的统摄性概念；同桌互举例子落实“用自己的话表述”的理解层级目标，同时渗透转化思想，为后续学习埋下伏笔。

板书设计要点： 分割法：分而求和（一看、二切、三算）；添补法：整减空白（补全→算整体→减空白）；转化思想：组合图形 → 基本图形；总结句：组合图形面积 = 基本图形面积的和或差。

---

环节6：作业设计（2分钟）

教师活动： 教师布置基础作业（必做）：题目为一个L形书房墙面，尺寸与课堂例题1相同（底部长方形长8米、宽4米，左上凸出长方形宽3米、高4米，总高8米、总宽8米）。要求：画出辅助线，用分割法分步计算面积；再用另一种方法（添补法或不同分割方式）验证，并把每一步算的是哪一块说给家长听。预估用时6分钟。

布置概念辨析题（必做，口头完成）：“求组合图形的面积只能用分割法，不能用添补法。”判断这句话是否正确，并用自己的话说明理由，说给家长或同伴听。预估用时2分钟。

布置拓展作业（选做）：一个长10米、宽8米的长方形花坛，右下角留一个边长为4米的正方形观赏区，其余部分种花。请你用两种方法计算种花面积，并用自己的话比较哪种方法更简便。预估用时6分钟。

教师说明要求：“基础作业今天完成，写在作业本上；拓展作业学有余力的同学挑战一下。做完以后，请指着图形说一遍每一步算的是什么，这是今天的‘口头作业’。”同时强调：“今天的书面作业量不大，请大家提高效率，把多余时间留给自己阅读和休息。”

学生活动： 学生记录作业要求，明确必做与选做。有学生举手问：“老师，验证的时候我可以换一种分法吗？”教师回应：“当然可以，这样就可以检验你的方法是不是真的理解了。”同桌之间用一分钟口头完成概念辨析题，互相检查表述是否清晰。有学有余力的学生说：“我回去想把花坛那道题用三种方法试试。”教师及时表扬。

设计意图： 分层作业兼顾不同水平学生，基础题巩固分割法，拓展题鼓励方法多样化；口头辨析题和“讲给家长听”的要求，将“解释”这一理解层级评价延伸到课外；控制书面作业总量，落实“双减”政策要求。

板书设计要点： 基础作业——L形墙面面积；概念辨析题——是否只能用分割法；拓展作业——花坛缺角；提醒——先画图、再列式、标尺寸。

---

七、板书设计

板书区域	内容要点
中央主题	组合图形的面积
核心方法	转化：组合图形 → 基本图形
左分支	分割法（分而求和）：一看 → 二切 → 三算；辅助线画在已知尺寸上
右分支	添补法（整减空白）：补全 → 算整体 → 减空白
例题区	例1 L形墙：$3\times 8+5\times 4=44$（平方米）
例题区	例2 缺角长方形：$8\times 6-3\times 2=42$（平方米）
总结栏	组合图形面积 = 基本图形面积的和 或 差

八、作业设计

基础作业（必做）：

1. 一个L形书房墙面的尺寸为：底部长方形长8米、宽4米，左上凸出长方形宽3米、高4米，总高8米、总宽8米。请画出辅助线，用分割法分步计算面积；再用另一种方法验证，并指着图说出每一步算的是哪一部分。（预估用时：6分钟）
2. 概念辨析题（口述给家长或同伴听）：“求组合图形的面积只能用分割法，不能用添补法。”判断这句话是否正确，并说明理由。（预估用时：2分钟）

拓展作业（选做）：

1. 一个长10米、宽8米的长方形花坛，在右下角留一个边长为4米的正方形观赏区，其余部分种花。请用两种方法计算种花面积，并用自己的话比较哪种方法更简便。（预估用时：6分钟）

合计预估时长： 基础作业约8分钟；完成全部（含选做）约14分钟，符合“书面作业≤60分钟/天（含所有科目合计）”的双减要求。

---

教学反思模板（课后填写）

1. 目标达成情况：（学生是否达到“理解”层级目标，能否用自己的话解释两种方法）
2. 学生参与情况：（中等生和学困生是否都能画对辅助线，是否敢于表达不同思路）
3. 教学调整记录：（哪些环节学生反应超出预设，后续如何调整）
4. 下节课改进方向：（根据本节课作业反馈，确定需巩固或补救的内容）

核心公式速查

序号	公式/定理名称	LaTeX 表达式	适用范围
01	长方形面积公式	$S = a \times b$	已知长和宽的长方形
02	正方形面积公式	$S = a^2$	已知边长的正方形
03	三角形面积公式	$S = \frac{1}{2}ah$	已知底和高的三角形
04	梯形面积公式	$S = \frac{(a+b)h}{2}$	已知上底、下底和高的梯形
05	分割法求组合图形面积	$S_{\text{组合}} = S_1 + S_2$	组合图形可分割为基本图形
06	添补法求组合图形面积	$S_{\text{组合}} = S_{\text{整体}} - S_{\text{空白}}$	组合图形可由大图形减去空缺部分得到

---

本教案由 BestTeach AI 辅助生成，依据《人工智能生成合成内容标识办法》（国信办通字〔2025〕2号）第四条标识。教师应独立审核修改后使用。