两个位似图形坐标之间的关系教案

课程名称	课时安排	教学类型	授课对象
数学·两个位似图形坐标之间的关系	45分钟	新授课	九年级（初三）·普通城市校

教材版本	授课教师	教学主题	课标依据
（未指定）	__________	位似变换与坐标变换规律	符号意识、运算能力、几何直观

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一、教材分析

本课围绕“位似图形在平面直角坐标系中的坐标变化规律”这一核心主题展开，是九年级相似图形知识的深化与应用。位似图形是相似图形的一种特殊情形，其本质特征是通过一个中心点（位似中心）将图形按一定比例放大或缩小。当位似中心与坐标原点重合时，图形上各点的坐标变化呈现出简洁的代数规律，这不仅是相似图形在代数形式上的重要体现，也为后续学习图形变换（如旋转、平移、轴对称的坐标表示）提供了类比基础。

从知识体系看，学生已掌握位似图形的定义、位似中心与位似比的概念，也具备平面直角坐标系中点的坐标表示、比例运算等基础知识。本课将这些分散的知识点有机整合：一方面，将“形”的位置关系（位似）转化为“数”的运算关系（坐标乘以 $k$），体现数形结合的核心思想；另一方面，通过 $k$ 的正负取值，让学生理解位置方向（同侧/异侧）对坐标符号的影响，深化对比例意义的理解。这一转化过程是学生从直观几何向解析几何过渡的关键一步，对未来学习函数图像变换、向量坐标运算等均有铺垫意义。

本课的教学重点与难点均围绕“以原点为位似中心”这一特殊情形展开，但需为后续“位似中心不在原点”的拓展预留思维接口。教材通常通过具体三角形的画图验证引入，引导学生经历“观察—计算—归纳—验证”的完整认知过程，这与新课标强调的“经历数学活动过程”的理念一致。

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二、学情分析

已有知识基础： 九年级学生已系统学习了相似三角形与位似图形的基本知识，能准确识别位似图形、找出位似中心、计算位似比。同时，学生对平面直角坐标系中的点坐标表示、正负数乘法运算、坐标轴上的点到原点距离等已具备较为熟练的操作能力。部分学生还能独立进行 $k=2$ 或 $k=\frac12$ 等整数或分数倍的计算。

可能遇到的障碍与认知难点：

1. 符号理解困难： 学生习惯于将“放大”“缩小”对应为“乘以大于1的数”“乘以小于1的正数”，但当 $k<0$ 时，图形不仅大小变化，还发生了方向翻转（旋转180°），学生容易将“$-2$”理解为“先放大2倍，再取相反数”的分离操作，而非一个统一的乘法规则。部分学生甚至会把 $-k$ 误认为“先取绝对值，再乘以 $k$”。
2. 运算迁移障碍： 学生能熟练计算 $2 \times 3 = 6$，但当 $k$ 是负数或分数时（如 $k=-\frac{3}{2}$），在计算 $-\frac{3}{2} \times 4$ 时容易出错，尤其是负号与分数同时出现时，运算准确率下降明显。
3. 几何理解不充分： 普通城市校中等生占主体，部分学生更擅长代数运算而对几何图形的直观感受不够敏锐。将坐标计算的结果转化为图形在坐标系中的实际位置，需要学生具备一定的空间想象能力，这对部分学生构成挑战。

教学策略对应： 针对上述困难，本课采用“先画图后计算”的顺序，让图形直观先行，帮助学生建立“坐标变化对应图形位置变化”的感知；同时，在计算环节设置“正负对比”的对照表，引导学生通过比较发现规律。分层作业设计照顾不同水平学生，确保基础薄弱的学生也能完成核心任务。

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三、教学目标（核心素养导向）

1. 【对应核心素养：符号意识】 通过观察位似图形在平面直角坐标系中对应点坐标的算式变化（$x' = kx$，$y' = ky$），学生能用自己的话表述“以原点为位似中心，位似比为 $k$，则对应点坐标是原坐标乘以 $k$”这一规律，并能举例说明 $k$ 为正数与负数时坐标符号发生变化的实质。

2. 【对应核心素养：运算能力】 通过计算并验证位似比为 $2$、$-3$、$\frac12$ 等不同取值下的对应点坐标，学生能区分位似比为正值与负值两种情形下坐标变换规则的具体差异，并能写出正确的坐标变换结果。

3. 【对应核心素养：几何直观】 通过将一组对应点坐标的计算结果在坐标系中进行描点定位，学生能举例说明坐标乘以 $k$（$k>0$）与乘以 $k$（$k<0$）时，对应图形相对位似中心的位置关系（同侧或异侧），并能在坐标系中准确标出对应点的位置。

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四、教学重难点

类别	要点
教学重点	归纳并理解以原点为位似中心的位似变换中，对应点坐标与位似比的关系：若位似比为 $k$，则对应点坐标变为原来的 $k$ 倍（$x' = kx$，$y' = ky$）。重点在于从具体计算中抽象出代数表达式，并让学生用自己的话重述这一规律。
教学难点	区分位似比 $k$ 的正负对应两种不同的位似方向（同侧或异侧），并在坐标系中准确判断对应点的位置；计算含分数或负数的位似比时，避免运算错误。

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五、教学资源与准备

教师准备：

• PPT课件：包含位似图形示例、坐标系网格、计算演示动画
• 坐标纸（A4大小，每人一张，用于画图操作）
• 黑板用三角板、彩色粉笔（区分原图形与位似图形）

学生准备：

• 复习位似图形的定义及位似中心的概念
• 带上直尺、铅笔、橡皮
• 预习思考：在一个坐标系中，如果将三角形放大2倍，它的顶点坐标会变成什么样？

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六、教学过程（总时长 45 分钟）

环节1：创设情境（5分钟）

教师活动： 教师展示PPT：坐标系中有一个 $\triangle ABC$，顶点坐标分别为 $A(1,2)$，$B(3,1)$，$C(2,3)$。并显示位似比为 $2$ 的对应图形 $\triangle A'B'C'$（以原点为位似中心）。

教师提问：“同学们，还记得什么是位似图形吗？这两个图形之间有什么关系？观察它们的顶点坐标，你发现了什么？”

教师板书原三角形坐标与对应图形坐标的对照表（预先在PPT上显示，但不写出 $k$ 值）：

原顶点	坐标	对应顶点	坐标
A	(1,2)	A'	(2,4)
B	(3,1)	B'	(6,2)
C	(2,3)	C'	(4,6)

教师追问：“你能从这些数字中发现什么规律？比如，$A$ 到 $A'$，横坐标从1变成了2，纵坐标从2变成了4，乘了什么数？”

学生活动： 学生观察图形，回忆位似图形的定义：对应点连线交于同一点（位似中心），对应边平行或重合。

预设学生回答：“我发现了，$A$ 的横坐标1变成了 $A'$ 的横坐标2，纵坐标2变成了4，都是乘以2。”“$B$ 也是这样，3变成6，1变成2。”“所以总是乘以2。”

教师追问：“那么，如果位似比是 $2$，对应点坐标是不是就是原坐标乘以2？”学生点头赞同。

设计意图： 通过具体的图形观察与数字对照，激活学生对位似图形与坐标的已有经验，引发坐标变化规律的探究兴趣。本例以 $k=2>0$ 为起点，降低认知门槛，让学生先轻松发现“乘以 $k$”这一最直观的规律，为后续 $k<0$ 的对比做好心理准备。

板书设计要点： 左板写出 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 的坐标对照表；中板写出关键问题：“对应点坐标×2？”

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环节2：探究新知（15分钟）

教师活动：

步骤一：验证正倍率规律（$k=3$）。 教师说：“刚才我们发现了 $k=2$ 时，坐标都乘以2。现在，我们换个位似比看看。假设原三角形顶点坐标仍为 $A(1,2), B(3,1), C(2,3)$，位似比为 $3$，对应点坐标是多少？请大家算一算。”

教师走到黑板前，写出算式示范： $A'(3 \times 1, 3 \times 2) = (3,6)$ $B'(3 \times 3, 3 \times 1) = (9,3)$ $C'(3 \times 2, 3 \times 3) = (6,9)$

教师提问：“大家算出来的跟我一样吗？如果位似比是 $k$，对应点坐标可以怎么表示？”引导学生归纳：

$$(x, y) \xrightarrow{k} (kx, ky)$$

步骤二：探究负倍率的规律（$k=-2$）。 教师追问：“现在相同三角形，我们把位似比换成 $-2$，大家觉得对应点坐标会变成什么样？先猜一下，再算一算。”

教师板书： $A'(-2 \times 1, -2 \times 2) = (-2, -4)$ $B'(-2 \times 3, -2 \times 1) = (-6, -2)$ $C'(-2 \times 2, -2 \times 3) = (-4, -6)$

教师提问：“请大家在坐标纸上描出这些点，并画出 $\triangle A'B'C'$，观察它与原 $\triangle ABC$ 的位置关系。坐标都是负数，说明图形在哪？”

学生活动： 学生独立计算 $k=3$ 时的坐标，写在练习本上，并与同桌核对。

预设学生回答：“$A'(3,6)$，$B'(9,3)$，$C'(6,9)$。”“老师，我算了，和您写的一样。”

对于 $k=-2$ 的情况，学生开始出现不同意见。有的说“乘以 $-2$ 就是变成相反数再乘以2”，有的说“先乘以2再取相反数”。教师不作判断，让学生自己算。

学生小组内交换计算结果，发现多数同学算出了 $A'(-2,-4), B'(-6,-2), C'(-4,-6)$，但有1-2组因符号错误算出正数。小组互相纠正。

学生在坐标纸上描点、画图，发现 $\triangle A'B'C'$ 与原三角形分别在原点的两侧（异侧）。有学生惊呼：“啊，图形翻过去了！”

教师引导：“为什么 $k=-2$ 时图形跑到了另一侧？因为符号决定了方向。”

设计意图： 从正比例到负比例，从单一数值到抽象表达，引导学生经历“具体计算—小组核对—归纳规律”的完整过程。通过 $k>0$ 和 $k<0$ 的对比，让学生理解符号对图形位置的决定作用，而不只是机械记忆“乘以 $k$”。

板书设计要点：

• 中板左侧书写：$(x, y) \to (kx, ky)$
• 中板右侧书写：$k>0$（同侧），$k<0$（异侧）
• 下板示例：$A(1,2) \xrightarrow{k=3} A'(3,6)$；$A(1,2) \xrightarrow{k=-2} A'(-2,-4)$

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环节3：变式练习（10分钟）

教师活动： 教师出示新的练习题：

例题1： 已知 $\triangle ABC$ 的顶点坐标 $A(2,1)$，$B(4,-1)$，$C(0,0)$，以原点为位似中心，位似比为 $k=\frac12$，分别求 $k=1.5$ 和 $k=-0.5$ 时对应点 $A'B'C'$ 的坐标。

教师巡视学生计算过程，重点关注：

• 是否会正确乘以 $k$（包括分数与小数）；
• 是否注意到 $k=-0.5$ 时坐标符号的变化；
• 是否画出图形，并观察位置关系。

教师随机提问一位中等生：“你算的 $A'$ 坐标是多少？你能解释一下为什么吗？”

学生活动： 学生在练习纸上独立计算，完成后再画图验证。

预设一名学生回答：“$A(2,1)$ 乘以 $1.5$ 得 $A'(3,1.5)$；$B(4,-1)$ 乘以 $1.5$ 得 $B'(6,-1.5)$；$C(0,0)$ 还是 $(0,0)$。”

教师追问：“为什么 $C$ 点没有变？”学生回答：“因为 $0$ 乘以任何数还是 $0$。”

另一名学生回答：“$k=-0.5$ 时，$A'(-1,-0.5)$，$B'(-2,0.5)$，$C'(0,0)$。图形在原点另一侧，而且缩小了一半。”

学生同桌互相交换答案，并解释自己推理过程。发现部分同学在计算 $1.5 \times 2$ 时写成 $3$，但 $1.5 \times 4$ 写成了 $6$（正确）；也有同学在 $k=-0.5$ 时只写了 $2 \times (-0.5) = -1$ 正确，但在 $4 \times (-0.5)$ 时写成了 $2$（漏了负号），同桌立刻纠正。

设计意图： 通过 $k=1.5$（正分数）和 $k=-0.5$（负分数）的变式，打破学生仅在做“整数倍、正倍率”时的思维定势。分数与小数的计算更能考察学生对规则的本质理解；负号的出现揭示“位置方向”这一核心概念。同桌互查增强了检查意识，也培养了合作学习习惯。

板书设计要点： 在黑板右侧原例题下方，添加变式练习的关键算式：

• $A(2,1) \xrightarrow{k=1.5} A'(3,1.5)$
• $A(2,1) \xrightarrow{k=-0.5} A'(-1,-0.5)$
• 强调：$0$ 点不变

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环节4：错误辨析（5分钟）

教师活动： 教师展示一道常见错误题：

“小明在做这道题时，将 $\triangle ABC$ 以原点为位似中心，位似比为 $-2$ 进行变换，他的答案是：$A(1,2) \to A'(1+2, 2+2) = (3,4)$。大家说他的做法对吗？为什么？”

教师问：“错在哪里？正确的应该是什么？”

教师进一步引导：“如果小明坚持认为‘扩大2倍就是坐标加2’，你能举一个反例让他明白吗？”

学生活动： 学生观察错误式子，小组讨论。

预设学生回答：“不对，应该是乘2，不是加2。正确的 $A'$ 坐标应该是 $(-2, -4)$，因为 $k=-2$，所以横坐标是 $1 \times (-2) = -2$，纵坐标是 $2 \times (-2) = -4$。”

另一学生指出：“加2的话，横坐标变3，纵坐标变4，图形位置和大小都变了。按加2做，图形没有放大两倍，只是平移了。”

教师追问：“如果位似比是 $k=-2$ 时坐标‘乘-2’，那如果是 $k=2$ 时，坐标‘乘2’还是‘加2’？”学生齐答：“乘2！”

教师再追问：“为什么坐标变换是乘法而不是加法？谁能用位似的定义来解释？”有学生回答：“因为位似比是边长比，边长变了多少倍，坐标就应该变多少倍，所以是乘。”

设计意图： “加法混淆”是学生在坐标变换中常见的顽固错误，根源在于将“倍率”与“平移”两种变换混淆。通过展示这一典型错误并引导学生从位似定义出发进行辨析，帮助学生理解位似变换的本质是比例（缩放）而非平移，从而从根本上纠正误解。

板书设计要点： 用红色粉笔在黑板一侧书写错误示例：$\times$（乘2）vs. $+$（加2），用$\times$打叉标记错误；右侧写正确过程并圈出关键。

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环节5：总结提升（5分钟）

教师活动： 教师引导学生回顾本课的核心规律，并用板书梳理知识结构。

教师提问：“今天我们学了一个很重要的关于位似图形与坐标的关系，谁能用自己的话总结一下这个规律？”

教师邀请2-3名学生依次发言，注意倾听学生是否使用了“乘以 $k$”“同侧”“异侧”“符号决定方向”等关键词。

教师最后用板书将规律呈现在黑板中央：

位似变换坐标规律（以原点为位似中心）：

原图形一点 $P(x, y)$，位似比为 $k$，对应点 $P'(kx, ky)$。

• 若 $k > 0$：对应图形与原图形在位似中心同侧；
• 若 $k < 0$：对应图形与原图形在位似中心异侧；
• 特别地，当 $k=0$ 时？学生回答“退化为一个点（坐标原点）”。

教师追问：“如果位似中心不是坐标原点，而我们又想用坐标求对应点，你觉得今天的规律还能直接用吗？为什么？”（预留思维接口，不展开解答）

学生活动： 学生分为两组，一组复述规律，另一组举出正反例子验证。

预设学生回答（复述）：“如果位似中心是原点，那么对应点坐标就等于原坐标乘以位似比 $k$。$k>0$ 时，图形在同一侧；$k<0$ 时，图形在两边。”

另一学生举例：“比如 $P(2,3)$，$k=4$，对应点 $P'(8,12)$，图形在右边；$k=-4$，对应点 $P'(-8,-12)$，图形在左边。”

教师肯定：“非常准确！你不仅说出了规律，还用自己的例子验证了。”

设计意图： 将课堂中的零散操作经验上升为结构化的知识框架。学生通过复述规律与举例验证，不仅强化了记忆，更实现了对知识本质的深层理解。同时，简要提及“位似中心不在原点”的拓展问题，为下节课或相关学习埋下伏笔，保持学习的延续性。

板书设计要点： 中央上方书写课题“两个位似图形坐标之间的关系”；中央书写核心规律公式与条件；左侧分支为“$k>0$ 同侧”，右侧分支为“$k<0$ 异侧”；下方写出典型例题关键算式。

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环节6：作业设计（5分钟）

教师活动： 教师强调：“今天的作业有两个层次。第一层是基础作业，所有人都必须认真完成；第二层是拓展作业，学有余力的同学可以挑战一下。请大家根据自己的情况选择。”

教师明确作业要求：

• 基础题：直接写出对应点坐标，巩固本节课的核心规则；
• 拓展题：反过来求位似比，锻炼逆向思维能力。

教师补充：“写作业时，可以在坐标纸上画草图验算，确保自己的答案正确。画图可以帮助你检查坐标是否算对了。”

学生活动： 学生记录作业内容，并标注基础题与提高题的区别。

有学生提问：“老师，拓展题里，如果对应点坐标和原坐标的符号不同，是不是位似比一定是负数？”教师回答：“问得好！这就是今天课堂上讨论的核心：符号代表方向。你这个问题正好要你自己在作业中去验证。答案等明天批改后告诉大家。”

设计意图： 分层设计确保不同水平的学生都有适合的挑战任务：基础题巩固核心规则，让每位学生都能完成；拓展题激发学有余力学生的探索兴趣，培养逆向思维与综合运用能力。控制作业总量，符合双减政策对书面作业时长的限制。

板书设计要点： 黑板右侧列出作业要点，标号1-2，分别标注“基础（必做）”与“拓展（选做）”；给出一个示例：“如 $A(2,1)$，$k=-3$ → $A'(-6,-3)”，帮助学生回忆计算步骤。

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七、板书设计

板书区域	内容要点
中央主题	两个位似图形坐标之间的关系 —— 以原点为位似中心
核心公式分支	$(x, y) \xrightarrow{k} (kx, ky)$
左分支（$k>0$）	同侧 / 放大或缩小 / 符号不变（如 $A(1,2) \xrightarrow{k=2} A'(2,4)$）
右分支（$k<0$）	异侧 / 旋转180° / 符号全反（如 $A(1,2) \xrightarrow{k=-2} A'(-2,-4)$）
下方例题栏	例1：$A(1,2), B(3,1), C(2,3)$ ｜ $k=2$ → (2,4),(6,2),(4,6)；$k=-2$ → (-2,-4),(-6,-2),(-4,-6)
错误辨析区	❌ 加法混淆（$+$ 平移） → ✅ 乘法（$\times$ 缩放）
总结栏	核心规律：位似中心为原点时，对应点坐标等于原坐标乘以 $k$

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八、作业设计

基础作业（必做）：

1. 已知 $\triangle DEF$ 的顶点坐标 $D(3,2)$，$E(5,0)$，$F(1,4)$，以原点为位似中心，分别求位似比为 $2$ 和 $-3$ 时对应点 $D'$、$E'$、$F'$ 的坐标。 （预估用时：5分钟）

2. 在方格纸上画出上述 $\triangle DEF$ 及其以原点为位似中心、位似比为 $2$ 的位似图形，并用坐标验证你的计算是否正确。 （预估用时：3分钟）

拓展作业（选做）：

1. 已知位似图形中，以原点为位似中心，对应点 $A(6, -2)$ 与原图形点 $A'(-3, 1)$ 相对应。请判断位似中心是否为原点？若是，求出位似比 $k$ 的值；若不是，说明理由。 （预估用时：5分钟）

2. 若一个图形以原点为位似中心，位似比为 $k$ 时，对应点坐标 $(x', y')$ 满足 $x' = -2x$，$y'= -2y$，求 $k$ 的值，并说明对应的两个图形（原图形与位似图形）的位置关系（同侧还是异侧）。 （预估用时：3分钟）

合计预估时长： 16 分钟（基础作业 8 分钟 + 拓展作业选做约 8 分钟）

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核心公式与定理速查表

序号	公式/定理名称	LaTeX 表达式	适用范围
01	位似变换坐标公式（原点为中心）	$(x, y) \xrightarrow{k} (kx, ky)$	位似中心为坐标原点时任意图形变换
02	同侧条件（$k>0$）	$k>0 \Rightarrow \text{对应图形与原图形在位似中心同侧}$	方向判定
03	异侧条件（$k<0$）	$k<0 \Rightarrow \text{对应图形与原图形在位似中心异侧}$	方向判定
04	不变点	$(0,0) \xrightarrow{k} (0,0)$	坐标原点是所有位似变换的不动点
05	分数的坐标变换	$(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) \xrightarrow{k=2} (a, b)$	倍率为分数时图形缩小

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教学反思模板（课后填写）

1. 目标达成情况： 学生是否都能用自己的话解释“位似变换中坐标乘以 $k$”的规律？能否区分 $k>0$ 与 $k<0$ 对应的位置方向？
2. 学生参与情况： 在变式练习与错误辨析环节，学生参与踊跃度如何？中等生是否跟上节奏？
3. 教学调整记录： 学生是否有未预料到的问题或困惑？例如，对 $k$ 为负数时的“异侧”是否有直观理解？是否需要再多一步画图演示？
4. 下节课改进方向： 是否需要补充位似中心不在原点时的坐标变换方法？是否需要强化分数位似比（如 $k=\frac13, \frac25$）的计算练习？

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本教案由 BestTeach AI 辅助生成，依据《人工智能生成合成内容标识办法》（国信办〔2025〕第3号）第 5 条标识。教师应独立审核修改后使用。