在平面直角坐标系中画位似图形教案
| 课程名称 | 课时安排 | 教学类型 | 授课对象 |
|---|---|---|---|
| 数学：在平面直角坐标系中画位似图形 | 45分钟 | 新授课 | 九年级（初三）普通城市校学生 |
| 教材版本 | 授课教师 | 教学主题 | 课标依据 |
|---|---|---|---|
| （未指定） | __________ | 位似变换与坐标系结合，坐标规律探究 | 《义务教育数学课程标准(2022年版)》——几何直观、运算能力、空间观念 |
一、教材分析
本课是“图形的相似”领域的高阶应用，聚焦于将位似变换与平面直角坐标系相结合，实现从“形”到“数”的精准转换。在九年级学生已经学习了图形的平移、轴对称、旋转等坐标变换后，位似变换作为第四种重要变换，填补了“缩放”这一维度的空白。本课的核心任务是在位似中心为原点这一特殊情形下，发现并运用“对应点横、纵坐标同时乘以位似比 (k)”的代数规律，实现用坐标快速获取新图形顶点位置，进而精确作图。
从知识关联看，本课上承“位似图形的概念与性质”（对应点连线交于一点，对应边平行或共线），下接“任意位似中心下的坐标表示”以及“位似在实际作图（如地图缩放、CAD基础图形缩放）中的应用”。本课对发展学生的几何直观（将坐标运算结果与图形位置对应）、运算能力（精确计算含符号的坐标乘积）和空间观念（理解 (k>0) 与 (k<0) 所引发的图形位置变化）具有关键作用。
本课不追求高难度、大容量的综合题，而是聚焦于“概念建构”和“方法习得”的过程。通过一个简单三角形、两种符号、三种不同的位似比（(k=2)、(k=-2)、(k=\frac{1}{2})、(k=-\frac{1}{2})），让学生在观察、计算、描点、对比中自然归纳出一般规律，这一过程本身就是数学建模与抽象思维的典型训练。
二、学情分析
已有基础：九年级学生已理解位似图形的本质（形状相同，对应点连线交于同一点），并能通过目测在纸上画出简单图形的位似图形。在坐标系方面，学生已熟练掌握点的坐标表示、平移中坐标的变化规律（左减右加、上加下减），以及一个点关于坐标轴的对称变换规律。学生在多象限内描点作图基本准确，能独立完成整数坐标点的定位。
现有困难：
- 符号理解的跳跃：学生习惯于将“放大”对应正数倍、“缩小”对应分数倍，但对“负数倍”感到困惑——为什么乘以 -2 得到的图形不是缩小而是反向放大？为什么 (k<0) 时图形跑到原点另一侧？这里的思维困难在于：位似比不只控制“大小”，还同时控制“方向”。学生对“用一个常数控制两种属性”的模型缺乏先验经验。
- 计算执行中的局部化倾向：部分中等生和学困生在计算 (k=-2) 时，容易将注意力集中在“符号”上，忽略了“所有顶点坐标都要同时乘以 (k)”，出现“只把 x 坐标变符号、y 坐标不变”或“只变其中一个”的局部化错误。
- 分数倍不能停留于直觉：对于 (k=\frac{1}{2})，学生容易直觉理解为“图形变一半”，但在坐标计算中容易出错于小数或分数乘法，或忘记“所有坐标都要乘”。
教学策略：课堂教学需注重“数的推导”与“形的直观”的反复对证。每算出一个点的坐标，立即在坐标系中描出该点，让学生亲眼看到“计算准确导致图形位置正确”的因果关系，以此强化坐标计算的动机和准确性。同时，充分预设学生的错误方向，通过“错误辨析”环节主动暴露并正视问题。
三、教学目标（核心素养导向）
【对应核心素养：几何直观】通过动手计算并描点，在平面直角坐标系中画出已知三角形的位似图形，学生能用自己的话解释：当位似中心为原点时，对应点 ((x',y')) 与原图形顶点 ((x,y)) 之间存在 (x'=kx, y'=ky) 的规律，并举例说明这一公式的来源。
【对应核心素养：运算能力】通过对比 (k=2)、(k=-2)、(k=\frac{1}{2})、(k=-\frac{1}{2}) 四组坐标的计算结果，学生能描述利用位似比 (k) 快速确定新图形顶点坐标的方法（即所有顶点坐标同时乘以 (k)），并能区分 (k>0) 与 (k<0) 时在坐标符号上的区别。
【对应核心素养：空间观念】通过观察正、负位似比所得图形的相对位置，学生能区分位似比为 (k) 与 (-k) 时所得图形关于原点的中心对称关系，并举出具有这种对称关系的实际图形例子（如一个三角形和它绕原点旋转180°后的三角形）。
四、教学重点与难点
| 类别 | 要点 |
|---|---|
| 教学重点 | 理解并运用位似中心为原点时，对应点坐标与位似比 (k) 的关系：(A(x,y) \to A'(kx, ky))，并能用此规律在坐标系中画位似图形。 |
| 教学难点 | ① 区分 (k>0)（图形与原图在原点同侧）与 (k<0)（图形与原图在原点异侧，即关于原点中心对称）时的坐标符号变化规律；② 克服“局部化计算”的思维定势，保证所有顶点坐标全部同时乘以 (k)。 |
五、教学资源与准备
教师准备：
- 课件：含坐标系网格的PPT（预设一个三角形ABC，坐标分别为 (A(2,1)), (B(4,3)), (C(1,3))，以及 (k=2)、(k=-2) 的对应点坐标计算动画）
- 打印版坐标纸（每人一张，便于学生描点作图，减少画坐标轴的时间）
- 红、蓝、绿三色记号笔各一支（用于板书区分原图、正位似图、负位似图）
学生准备：
- 尺子、铅笔、橡皮
- 提前回顾位似图形的定义：形状相同，对应点连线交于同一点
- 带好课堂坐标纸
六、教学过程（总时长 45 分钟）
环节1：创设情境（激活已有经验，引发认知需求）
时长：5分钟
教师活动： 教师展示一张地图的局部截图（城市公园或学校平面图），由课件呈现。
师：“同学们，现在我们看到的是一张公园平面图的局部。假设这个公园被一个方形的坐标网格覆盖了，我们想把这个公园的某个花坛（用手指出一个三角形区域）放大到原来的两倍来设计宣传海报。我们应该怎么确定放大后花坛的每一个角落在网格上的位置呢？”
（停顿几秒，给思考时间）
师：“如果只靠眼睛估计，能画得准吗？”（学生摇头）“那如果我们能用一个公式来计算新位置，是不是就准确多了？今天我们就来学一种新方法——在平面直角坐标系中画位似图形。”
随后，教师板书课题：“在平面直角坐标系中画位似图形”。
板书要点：中央写“在平面直角坐标系中画位似图形”。
学生活动： 学生观看地图图片，回忆小学或生活中见过的“放大/缩小”事例。一名学优生可能会小声说“算坐标”，教师捕捉到后肯定：“没错，就是想用坐标来算新位置。”多数学生保持倾听，部分学生开始在笔记本上写下课题。
设计意图：以生活化情境切入，降低抽象门槛，让学生感受到“用坐标控制缩放”是一个有实际意义的工具，而非纯形式化的数学游戏。同时激活学生关于“位似图形”的已有知识——图形形状不变，只改变大小和位置。
环节2：探究新知（经历概念/法则的形成过程）
时长：15分钟
教师活动： 教师在坐标系网格中画出一个三角形 (\triangle ABC)，顶点坐标为： (A(2,1))、(B(4,3))、(C(1,3))。位似中心设为原点 (O(0,0))。
师：“让我们先考虑最简单的情况：位似比为 (k=2)。意思是新图形边长是原图形的2倍。想一想，点 (A) 的对应点 (A') 应该在哪里？”
引导学生思考：点 (A(2,1)) 到原点 (O) 的连线方向，放大2倍意味着什么？教师给出推导过程： [ OA' = k \cdot OA = 2 \cdot OA ] 而 (A) 到原点的方向向量为 (\vec{OA} = (2,1))，故 (A') 的坐标应为： [ A'(2 \times 2, 1 \times 2) = A'(4,2) ] 同理得： [ B(4,3) \to B'(4 \times 2, 3 \times 2) = B'(8,6) ] [ C(1,3) \to C'(1 \times 2, 3 \times 2) = C'(2,6) ]
教师带领学生在坐标纸上用铅笔描出 (A'(4,2))、(B'(8,6))、(C'(2,6))，并连线得到 (\triangle A'B'C')。
师：“现在，我们改变一下位似比的符号。(k=-2) 呢？大家先猜测一下：(A'(2 \times (-2), 1 \times (-2))) 会得到什么？”
预设部分学生回答“(A'(-4,-2))”。教师肯定后，逐一写出： [ A(2,1) \to A'(-4,-2), \quad B(4,3) \to B'(-8,-6), \quad C(1,3) \to C'(-2,-6) ]
带领学生用另一色笔描点、连线，得到 (\triangle A''B''C'')。
师：“大家观察一下这两个新三角形：蓝色的是 (k=2)，绿色的是 (k=-2)。它们和原图的黑色三角形有什么位置关系？”
设问班中中等生：|“蓝色三角形在原图的哪个方向？”（学生：右上方）“绿色呢？”（学生：左下方）
师：“没错！(k>0) 对应原图在原点同一侧（同侧位似）；(k<0) 对应原图在原点另一侧（异侧位似），而且注意：(k=-2) 的新三角形相对于原图是放大到两倍并旋转了180°——即关于原点中心对称。”
板书要点：左侧写原坐标，右侧写对应坐标，中间写规律： (A(x,y) \to A'(kx, ky))；分为两行：(k>0) 同侧，(k<0) 异侧/关于原点对称。
学生活动： 学生跟随教师步骤，在坐标纸上分别描出 (A')、(B')、(C') 和 (A'')、(B'')、(C'') 并用两种颜色连线。中下水平学生在算 (k=-2) 时可能漏了负号，教师巡视中轻声提示：“注意，k是-2，不是2哦。”
小组内两两互相对照：一名学生说“我算的 (B'(-8,-6))”，同桌说“我的也是 (-8,-6)”。一名学困生小声问：“为什么x和y都要乘-2？不是只乘x吗？”教师此时不直接回答，提示：“待会儿在辨析环节我们会专门分析这个问题。”
设计意图：从具体数例出发，学生边算、边画、边看，直观体验“坐标同时乘以 (k)”这一规律的产生过程。(k>0) 与 (k<0) 的并置对比，为后续理解“符号控制位置”打下直观基础。
环节3：变式练习（多角度巩固，防止单一思维定势）
时长：10分钟
教师活动： 教师在课件上给出一个新的图形：四边形 (ABCD)，顶点坐标如下： (A(3,1))、(B(5,1))、(C(6,3))、(D(4,4))。位似中心仍为原点。
师：“现在请大家独立完成两个任务：第一，画出位似比为 (k=\frac12) 的图形（即缩小一半）；第二，画出位似比为 (k=-\frac12) 的图形。”
教师在黑板上提前画好一个空白坐标系网格，留出位置预备学生展示答案。
师：“注意，(k=\frac12) 是正数，图形在原图同侧；(k=-\frac12) 是负数，图形在原图异侧。”
教师巡视全班，特别关注中下水平学生的计算——他们可能算出 (A'(1.5, 0.5)) 后不知道小数怎么精确描点（对应 (k=\frac12)）。教师及时提示：“1.5在x轴正半轴的哪个位置？1和2正中间。”
板书要点：写案例的顶点坐标对应表（只写一部分即可）：
- (A(3,1) \to A'(?,?))（留空，学生回答后补充）
学生活动： 学生独立完成两幅图的绘制。有学生很快算出四个点的坐标并精确描点：
- (k=\frac12)：(A'(1.5,0.5))、(B'(2.5,0.5))、(C'(3,1.5))、(D'(2,2))
- (k=-\frac12)：(A'(-1.5,-0.5))、(B'(-2.5,-0.5))、(C'(-3,-1.5))、(D'(-2,-2))
一名学生在画 (k=-\frac12) 的图形时，因为 (-1.5) 的坐标画错了象限（画在第三象限但本应在第二象限？实际上，(A(-1.5,-0.5)) 的 x 坐标是 -1.5，y 是 -0.5，确实在第三象限，正确）。全班完成后，同桌互相对照图形轮廓是否正确，并说出对称关系：“绿色图形比原图小一半，但和原图同侧（都在第一象限）；蓝色图形小一半，但在第三象限。”
设计意图：通过同时给出“缩小（正分数）”和“缩小反转（负分数）”两个变式，防止学生只在“放大”“整数比”的范围内固化思维，也强化了对 (k) 符号意义的理解——无论 (k) 是整数还是分数，规律一致。
环节4：错误辨析（针对本节课典型易错点）
时长：8分钟
教师活动： 教师在黑板上展示一段典型错误解答（可提前写在纸板上或用课件模拟）：
错误解答：已知 (k=-3)，点 (P(2,-1))。
学生写的对应点 (P') 坐标为：((2 \times (-3), -1)) = ((-6, -1))。
师：“大家仔细看这个解答。这位同学算对了吗？错在哪里？”
预留全班思考10秒，然后提问。
师（追问一名中等生）：“你说的‘错了’是指哪个部分？能具体指出来吗？”
预设中等生回答：“他只乘了x坐标乘了-3，y坐标没有乘-3，所以求出来的y坐标还是原来的-1。”
师：“非常准确！位似变换要求所有坐标同时乘以k，不能只乘一部分。那正确的对应点P’应该是多少？”
全班齐声回答：“(P'(-6, 3))”——因为 (y = (-1) \times (-3) = 3)。
师：“很好。现在我们再多问一句：这个 (k=-3) 画画出的图形，应该位于原图的哪一侧？”（预设全班回答：“另一侧，就是关于原点对称”）
板书要点：写出错误案例的两种算式：× ((2 \times (-3), -1)) → ✓ ((2 \times (-3), (-1) \times (-3)))，并用红笔标记“所有坐标同时乘 (k)”的强调字。
学生活动： 学生认真审视错误案例。一名学优生主动举手补充：“老师，这个错误在乘k的时候只改了x没改y，但在x坐标上确实乘了-3，所以图形的宽度是对的、但高度会多出一倍——画出来的图形会变形，不是一个位似图形了。”
另一名学生接着补充：“对，因为只有x被放大，y没变，所以图形在x方向拉伸了但y方向没动，变成扁的了。”
教师肯定：“说得很好！位似图形要求形状不变（即对应边成比例），如果只乘x不乘y，图形就会水平方向拉长或压缩，就破坏了形状相似性。”
设计意图：通过这组鲜明对比的错误案例，突破“局部化计算”这一核心难点。学生通过识别错误、分析错误、纠正错误，加深对“同时乘以 (k)”的理解，避免在同一题目上反复出错。
环节5：总结提升（建构知识结构，梳理思想方法）
时长：5分钟
教师活动： 教师用思维导图或框架图形式板书本节课的核心内容：
基本公式：在位似中心为原点 (O) 的情况下，对于任意点 (P(x,y))，在位似比为 (k) 时的对应点 (P'(kx,ky))。
符号规律：
- (k>0)：图形与原图在原点同侧（方向一致）
- (k<0)：图形与原图在原点异侧（方向相反，关于原点中心对称）
画图步骤： ① 定中心（原点）→ ② 确定位似比 (k) → ③ 计算各顶点新坐标 → ④ 描点 → ⑤ 连线
师：“今天我们学了用坐标画位似图的基本方法。大家回忆一下，位似比的正负对图形的位置有什么影响？”
学生齐答：“正的同侧，负的异侧。”
师：“那如果 (k) 是负数，图形和原图之间还有什么特殊关系？”
一名学生补充：“关于原点中心对称。”
师：“非常棒！这也是我们以后学习‘旋转+缩放’叠加变换的基础。”
板书要点：中央写“位似画图法”，下方分三个分支：公式、符号规律、画图步骤。在底部加一个实际应用暗示：“地图缩放、CAD图形缩放”。
学生活动： 学生认真聆听并做笔记。在教师引导下，一名学生自愿上台，用自己的语言复述画图步骤。由于有前面计算和描点的实际经验，该生能脱口而出：“先找到原图形的顶点坐标，然后全部乘以位似比k，得到新坐标，再在坐标系里描点，最后连线。”
师追问：“那如果k是负数呢？比如-2，算完坐标之后的点在哪？”学生补充：“坐标符号会变成负的，点就到了另外两个象限。”
设计意图：将零散的操作经验结构化，形成清晰的解题策略与知识框架，便于学生课后独立完成作业。
环节6：作业设计（分层布置，控制时长）
时长：2分钟
教师活动： 教师用PPT呈现作业内容：
基础题（必做）：已知 (\triangle ABC) 的三个顶点坐标分别为 (A(1,2))、(B(3,1))、(C(2,4))。以原点 (O) 为位似中心，画出位似比为 (k=2) 的位似图形 (\triangle A'B'C')，并写出各顶点坐标。（提示：注意所有坐标同时乘2）
提高题（选做）：已知点 (P(2,-3))，以原点 (O) 为位似中心，位似比为 (k=-3) 得到点 (P')，请写出 (P') 的坐标。若 (P') 的坐标为 ((-6, 9))，则位似比 (k) 是多少？请说明理由。（提示：(P') 的坐标是由 (P) 坐标乘 (k) 得到的，反过来想？）
师：“基础题要求所有同学都完成，大约需要8分钟。有兴趣和时间有余力的同学可以选择做提高题，大约5分钟。记住，写坐标时要特别注意 (k) 的符号！”
板书要点：列两个题号及关键公式提示：(P'(kx, ky))，(k = \frac{x'}{x} = \frac{y'}{y})。
学生活动： 学生记录作业内容。一名中等生举手：“老师，提高题第一问就是直接算吗？把 ((2,-3)) 乘 -3 就是 ((-6, 9))？”教师肯定：“对！第二问是需要反推 (k) 的值。你试试看。”
另一名学生问：“基础题要画图吗？”师：“是的，既要写坐标也要画图，描点和连线都要做。”
设计意图：落实双减政策，通过分层作业满足不同水平学生的需求，同时控制书面作业总时长（必做8分钟+选做5分钟，总计不超过90分钟/天）。
七、板书设计
| 板书区域 | 内容要点 |
|---|---|
| 中央主题 | 在平面直角坐标系中画位似图形 |
| 左分支 | 公式：(A(x,y) \to A'(kx, ky)) |
| 左分支（续） | 符号规律： |
| (k>0) → 同侧 | |
| (k<0) → 异侧（关于原点对称） | |
| 右分支 | 画图步骤：①确定中心（原点）→ ②确定位似比 (k) → ③计算各点新坐标 → ④描点 → ⑤连线 |
| 下方例题区 | 例：(\triangle ABC) 中 (A(2,1)), (B(4,3)), (C(1,3))；(k=2)：(A'(4,2)), (B'(8,6)), (C'(2,6))；(k=-2)：(A''(-4,-2)), (B''(-8,-6)), (C''(-2,-6)) |
| 下方关键提示 | 所有顶点坐标同时乘以 (k)；(k) 符号决定方向，大小决定缩放程度 |
| 错误辨析栏 | 错误：只乘 x 不乘 y → 变形；正确：( (x_0,y_0) \to (kx_0, ky_0)) |
八、作业设计
双减合规：书面作业≤90分钟/天（含所有科目合计，根据双减政策）
基础作业（必做）：
- 在平面直角坐标系中，已知 (\triangle ABC) 的三个顶点坐标分别为 (A(1,2))，(B(3,1))，(C(2,4))。以原点 (O) 为位似中心，画出位似比为 (k=2) 的位似图形 (\triangle A'B'C')，并写出各顶点坐标。 （预估用时：8分钟）
拓展作业（选做）：
- 已知点 (P(2,-3))，以原点 (O) 为位似中心，位似比为 (k=-3) 得到点 (P')，请写出 (P') 的坐标。若 (P') 的坐标为 ((-6,9))，则位似比 (k) 是多少？请说明理由。（提示：双向应用公式 (P'(kx,ky))，求 (k) 时用除法） （预估用时：5分钟）
合计预估时长：13 分钟（书面作业≤90分钟/天，满足要求）
核心公式速查表
| 序号 | 公式/定理名称 | LaTeX 表达式 | 适用范围 |
|---|---|---|---|
| 01 | 位似变换坐标公式（原点为中心） | (P'(x',y') = (kx, ky)) | 任意点 (P(x,y))，位似比为 (k) |
| 02 | 位似比定义 | (k = \frac{x'}{x} = \frac{y'}{y})（当 (x \neq 0, y \neq 0)） | 逆向计算位似比 |
| 03 | (k>0) 图形同侧 | 图形与原图位于原点同一侧 | 同向位似 |
| 04 | (k<0) 图形异侧 | 图形与原图关于原点中心对称 | 异向位似 |
| 05 | 位似图形判定 | 对应点连线交于同一点（即位似中心） | 验证是否位似 |
教学反思模板（课后填写）
1. 目标达成情况：
- 学生对“坐标同时乘以 (k)”规律的解释是口头清晰还是机械记忆？______
- 学生是否能在变式练习中正确区分 (k>0) 和 (k<0) 的图形位置？______
2. 学生参与情况：
- 中等生和学困生是否在“错误辨析”环节获得了有效纠正？______
- 小组互查时，是否所有学生都参与交换坐标纸核对？______
3. 教学调整记录：
- （如有必要，记录：哪些学生在哪种计算上卡壳？下一轮可以补充什么变式题？）
4. 下节课改进方向：
- 计划一：对符号混淆严重的学生群体，安排3分钟的“符号转换”小测验。
- 计划二：若时间允许，增加一个“位似中心在非原点”的简单拓展例。
本教案由 BestTeach AI 辅助生成，依据《人工智能生成合成内容标识办法》（国信办〔2025〕第3号）第 5 条标识。教师应独立审核修改后使用。
常见问题
九年级数学《在平面直角坐标系中画位似图形》的教学目标是什么？
本教案依据教育部2022年版义务教育课程标准，从知识技能、过程方法、核心素养三维度设定在平面直角坐标系中画位似图形的可观测教学目标，完整目标见教案正文「教学目标」部分。
《在平面直角坐标系中画位似图形》这节课的教学重点和难点是什么？
教案正文「教学重点」「教学难点」部分针对在平面直角坐标系中画位似图形给出了具体的重难点分析与突破策略，结合九年级学生认知特征设计。
如何获取《在平面直角坐标系中画位似图形》的可编辑教案（Word版）？
本页为贝特教 BestTeach AI 生成的样例教案，请独立审核修改后使用。注册贝特教 BestTeach即可一键生成数学任意课题的专属教案，支持导出 Word/PDF 后自由编辑与个性化调整。