位似图形概念教案

课程名称	课时安排	教学类型	授课对象
数学·位似图形概念	45分钟	新授课	九年级（初三）·普通城市校

教材版本	授课教师	教学主题	课标依据
（未指定）	______	位似变换及其与相似的关系	几何直观、空间观念、符号意识、推理意识

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一、教材分析

“位似图形”属于“图形与几何”领域中“图形的变化”板块的核心内容，是继全等变换（平移、旋转、轴对称）和相似变换之后，学生接触的又一重要几何变换类型。本课以“位似”概念为起点，为后续学习位似变换的性质、利用位似放大与缩小图形、建立坐标平面内位似变换的坐标规律奠定基础。

从知识链角度看，位似是相似的深化：相似只要求形状相同，而位似在此基础上增加了“对应点连线交于一点”的位置约束，因此位似是相似的特例。教材中，位似概念处于“相似”章节末段，起到承上启下的作用——“承上”是对相似判定与性质的巩固与延伸，“启下”是衔接初中与高中“几何变换”的桥梁。本课概念建立的质量，直接影响学生能否顺利区分位似与相似、能否灵活利用位似中心进行图形缩放、能否理解“位似变换不改变图形的形状”这一本质。

从思想方法看，本课蕴含了“从一般到特殊”（相似→位似）、“对应点连线共点”、“图形缩放中的比例思想”以及“分类讨论”（位似中心在不同位置的处理）等初中几何的核心思维。这些方法是学生进行几何推理与解决实际作图问题的重要工具。

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二、学情分析

九年级学生已系统学习全等变换和相似三角形，对“图形的放大与缩小”有初步的生活经验与感性认识，具备一定的几何观察与动手操作能力。但“位似”概念中“对应点连线交于一点”这一约束条件往往是学生理解的盲区——学生很容易依据“形状相同”就断言两个图形位似，忽略位置关系。

具体障碍表现为：一、学生常将“相似”等同于“位似”，把“形状相同”作为唯一判定标准；二、当位似中心位于图形内部或图形一边时，学生缺乏“连接对应点看是否共点”的意识与技能；三、在找位似中心的习题中，部分学生不知道“延长对应边所在直线”或“连接对应顶点”的策略，出现作图随意、交点定位不准确的问题。

从认知发展角度看，学生正处在从具象操作向抽象推理过渡的阶段。因此教学需注重直观引导：先通过生活中照片放大、投影灯等实例，让学生“看见”对应点连线交于一点的现象；再由实物抽象到几何图形，完成概念的符号化与形式化。步骤不可省略，一旦过早抽象会导致中等生与后进生掉队。

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三、教学目标（核心素养导向）

1. 【对应核心素养：几何直观】通过观察照片放大、投影灯投影等生活实例，并动手连接对应点，学生能用自己的话解释位似图形的定义（形状相同、对应点连线交于一点），能从一组图形中准确区分位似图形与非位似图形，并说明区分依据。
2. 【对应核心素养：空间观念】通过在方格纸上以不同位置的点为位似中心画出已知三角形的位似图形，学生能描述位似中心的位置变化对位似图形的形状、大小和方向的影响，能举例说明位似中心在图形内部、外部、边上等不同情形下的作图差异。
3. 【对应核心素养：符号意识】通过对比位似图形与相似图形的关系，学生能举例说明“位似是相似的特例”，并能用数学符号语言（如“△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心”）表述图形之间的位似关系。

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四、教学重难点

类别	要点
教学重点	理解位似图形的定义，能根据定义判断两个图形是否位似。
教学难点	理解“对应点的连线都经过同一点”（位似中心）这一核心条件，并能准确找出位似中心（含位似中心在图形内部、边上、图形外部等不同情形）。

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五、教学资源与准备

教师准备： PPT（含照片放大对比图、投影灯示意图、正反例图形组）、方格纸多张（供学生操作）、直尺、彩色粉笔（用于标记对应点连线）、磁吸几何图形模型（用于演示位似中心在图形内的情形）。

学生准备： 铅笔、直尺、橡皮、方格练习本。课前可提前观察生活中“形状相同但大小不同”的物体（如手机图标、学校徽标的缩放版本），简单思考它们是否只是“相似”。

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六、教学过程（总时长45分钟）

环节1：创设情境（激活已有经验，引发认知需求）

时长：5分钟

教师活动：

教师展示两张大小不同的同一张照片（拍摄于同一角度，仅尺寸不同，如原版与放大版），在屏幕上并列展示。

教师提问：“同学们，这两张照片是什么关系？”（预设学生回答：“形状相同，大小不同。”）“非常好，它们就是我们在前面学过的‘相似’关系。现在我想请大家做一个动作——请用铅笔在自己的纸上试着把原照片的四个角点连起来，标记为点A、B、C、D；再把放大版的四个角点连起来，标记为点A′、B′、C′、D′。然后连接对应点AA′、BB′、CC′、DD′，观察这几条直线有什么特殊的地方？”

教师巡视，引导学生在纸上操作（只需示意性画出四个对应点，不必精确到像素）。

学生活动：

学生独立尝试画对应点并连线。有学生发现：“好像都交在了一个点上。”教师追问：“哪个点？”学生指屏幕或自己纸上示意交点位置。部分学生可能连接得不准确，交点不唯一。教师引导：“没关系，注意是直线不是线段。这几条直线，是不是都经过同一个点？”

预设回答：学生A：“确实都交于一点。”学生B：“我画的不太准，有点偏。”教师点评：“全班同学一起看着屏幕的电子模拟图——点击动画，会看到所有对应点的连线都交于一点。”学生恍然大悟。

板书要点：在黑板上板书：“原图 → 放大图；A—A′、B—B′、C—C′、D—D′ 交于一点”。

设计意图：从学生最熟悉的生活实例（照片放大）切入，激活学生对“相似”的记忆，并直观引出位似区别于相似的核心特征——对应点连线共点。中等生不需要从零理解“共点”的含义，而是通过画线、观察动画，获得感性认知。

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环节2：探究新知（经历概念/法则的形成过程）

时长：15分钟

教师活动：

教师引导学生从具体例子中抽象出一般规律：“像这样，两张照片虽然是大小不同，但形状相同，而且对应点连线都经过同一点——这种特殊的位置关系，叫做‘位似’。点O叫做‘位似中心’。这个‘位’就是‘位置’的意思，‘似’就是‘相似’的意思。”

板书（用表格形式在黑板左侧）：

• 位似图形定义：①形状相同；②对应点连线交于同一点（位似中心）。

教师展示PPT上的正反例图形组（每组标注清楚图形字母，方便学生引用）：

正例1：两个形状相同、朝向一致的三角形，对应顶点连线交于外部一点O。 正例2：两个形状相同但方向相反的四边形，对应顶点连线交于内部点O。 反例1：两个形状相同的正方形，一组对应边平行但无对应顶点连线相交于同一点（为演示方便选简单的图形）。教师问：“这两个正方形形状相同，它们是位似图形吗？”学生思考后作答。 反例2：两个平行四边形，形状不同（一组边长比例改变），对应点连线虽交于一点。教师问：“这两个呢？它的对应点连线确实交于一点。但它们形状不同，所以是位似吗？”引导学生对比定义。

教师示范在方格纸上画位似图形：以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，标注对应顶点A′、B′、C′，并写出位似比 $k = 2$。“注意：位似比就是对应边长的比，也是OA′:OA、OB′:OB、OC′:OC的值。”

学生活动：

学生跟随教师的提问，逐步思考每个例题：

• 在正例1中，学生齐声回答：“是位似图形，因为形状相同+对应点连线交于一点。”
• 在反例1中，部分学生误判为位似。教师引导：“请连接对应顶点，画出直线，它们是否交于一点？”学生尝试后说：“没有，它们相互平行，不交于一点。”教师追问：“但这两个正方形形状相同，为什么不位似？”学生回答：“因为对应点连线不交于一点。”
• 在反例2中，学生辨认出形状不同，所以不是位似。

教师随后组织同桌互讲：请同桌向对方用自己的话解释“什么是位似图形”，并判断PPT上的反例1为何不是位似。互讲时间约2分钟。

板书要点：黑板上写出案例“正例1：△ABC与△A′B′C′位似，O为位似中心。反例1：正方形ABCD与正方形EFGH形状相同，但连对应点不共点，不位似。反例2：两图形对应点连线共点但形状不同，不位似。”

设计意图：通过正反例的大量对比辨析，使学生反复运用定义中的两条约束（形状相同、连线共点）。同桌互讲是“理解”层级目标的有效验证方式——能解释给同伴听说明自己真正理解了。在画图示范环节，教师将作图步骤（定位似中心、连对应点、按比例截取）分解清楚，为后续变式练习搭好“脚手架”。

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环节3：变式练习（多角度巩固，防止单一思维定势）

时长：10分钟

教师活动：

教师出示三道变式题（顺序递进）：

题1（找位似中心）：已知两个位似图形△ABC与△A′B′C′（位置：A(0,0), B(2,0), C(0,2)；A′(3,0), B′(5,0), C′(3,2)）。求作：它们的位似中心O（仅要求确定点，不画位似图形）。请学生独立完成。

题2（在位似中心条件变化时画图）：已知△ABC和平面上一点O，以O为位似中心，将△ABC缩小为原来的$\frac{1}{2}$。分别画出O在△ABC外、O在△ABC内的情况。请学生两人合作完成两种情形，并比较两幅图的差异。

题3（判断与辨析）：两个多边形△PQR与△P′Q′R′，其中P(1,1), Q(3,1), R(2,3)；P′(2,2), Q′(6,2), R′(4,6)。判断它们是否位似，若是，求位似中心并给出位似比；若不是，说明理由。

学生活动：

学生先独立完成题1，教师巡视。学生常见做法：连接AA′和BB′，求出两条直线的交点即为位似中心O。

预设回答：学生A：“老师，我画了两条直线AA′和BB′，它们交于点O(0,0)。”教师追问：“只用两条线够吗？”学生A想了一下：“还需要验证CC′是否也经过点O。”验证后确认成立。

学生完成题2：两人合作画出两种情形。O在外时，图形同侧放大/缩小；O在内时，图形的朝向可能不变但位置变化更大（具体方向与O相对于原图形的坐标有关）。学生在比较中发现：“O在内部时，图形内外位移，不是简单的平移或旋转。”教师提示：“位似中心的位置只影响位似图形的位置变化，不影响形状（形状始终保持相似）。”

学生完成题3：部分学生试图直接通过目测判断，但很快发现需要精确计算。教师示范用坐标法：计算对应边长度之比 $PQ = 2$，$P′Q′ = 4$，比例 $2$；$PR = \sqrt{5}$，$P′R′ = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，比例 $2$；再计算对应边是否平行或比值相等……进而判断是位似。

板书要点： 题1解题关键：连接对应点求交点。 题2分类：O在外→同侧缩放；O在内→图形内外位移。 题3方法：坐标法验证边长比例 + 对应点连线共点。

设计意图：三道变式题层层递进。题1巩固“反向”找位似中心的方法；题2打破“位似中心只能在外部”的思维定势，同时强化“位似比是常数”；题3引入计算，使学生在数值中验证“形状相同”和“对应点连线共点”，为后续坐标法解题打下基础。

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环节4：错误辨析（针对本节课典型易错点）

时长：5分钟

教师活动：

教师展示一个学生常见错误案例（板书或PPT出示）：

问题：下面两个矩形ABCD和EFGH，其中AB=2, BC=1；EF=4, FG=2。它们的对应边平行，且对应顶点A与E、B与F、C与G、D与H的连线交于点O（如示意图）。小红说：“它们是位似图形，因为形状相同，且连线交于一点。”小明说：“不对，它们不算位似，因为对应顶点没有严格按照顺序连接。”请判断谁对谁错，并说明理由。

教师提问：“给大家30秒思考——哪位同学愿意表达自己的判断？”

学生活动：

学生思考后作答。预设学生A：“我同意小红，因为图形形状确实相同（矩形），且画了对应顶点连线也交于一点，所以是位似。”学生B（持反对意见）：“不对，矩形四条边都是平行的，形状相同只是相似，但位似要求不只是形状相同，还要看对应顶点具体怎么对应——比如A和E是对应顶点，但A在左上角，E也在左上角，就是正确的对应；如果把A对到F（即左上角到右上角），那就不是对应顶点，连线可能不交于一点。”教师追问：“那你认为它的确满足形状相同+连线共点吗？”学生B坚定：“满足——因为本例中老师明确说连线交于一点，所以它是位似。”教师肯定：“小明出错在错误理解‘对应’概念，但本例中给出的对应就是正确的，所以判定为位似。”

教师再问：“但有没有例外——两个图形形状相同，但人为不按对应顺序连接顶点，导致我们误以为不是位似？”学生C抢答：“需要严格按照‘对应顶点’来连接，不能随意连接！”教师总结：“对，这就是概念中隐含的条件：对应顶点必须按照图形中的对应关系连接。所以做题时，看到‘形状相同’且‘连线共点’就一定是位似；但反过来，如果连线不共点，就需要检查是否对应顶点选错了。”

板书要点： 易错点：对应顶点配对错误 → 导致误判位似关系。正确做法：严格按照图形变换中的对应关系连接。

设计意图：借助“对应顶点配对”这个易错点，帮助学生从“定义正用”进阶到“概念反推”。学生初学时容易犯“对应顶点配对随意”的错误，这一个辨析直接封堵了后续解题中最常见的陷阱。

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环节5：总结提升（建构知识结构，梳理思想方法）

时长：5分钟

教师活动：

教师带着学生在黑板上梳理知识结构图：“我们这节课学习了位似图形。请你用自己的话说说‘位似图形是什么’、‘位似图形和相似图形是什么关系’、‘判断位似需要几个条件’。”

教师带领学生逐条回顾：

1. 位似图形定义：形状相同 + 对应点连线共点（位似中心）。
2. 位似比：$k = \frac{OA′}{OA}$（其中 $k > 1$ 为放大；$0 < k < 1$ 为缩小）。
3. 位似中心的位置：可在图形外、图形内、图形边上。
4. 位似与相似的关系：位似是相似的特例（相似只要求形状相同，不要求位置关系）。

教师引导：“大家想一想——我们今天学了位似，有什么用处？”（预设学生回答：“可以放大缩小图形。”）教师补充：“对，实际生活中，投影仪、照片放大、地图缩放都用到了位似变换的原理。位似是一种非常有用的几何变换。”

学生活动：

学生齐声总结：“位似图形需要满足形状相同和对应点连线交于一点；位似是相似的特例，所有的位似图形都是相似图形，但并非所有相似图形都是位似图形。”

学生在笔记本上画结构图：中央写“位似图形”，左分支写“定义（两条件）”，右分支写“位似比k”，下方写“相似→位似（特例）”。

板书要点（此环节在黑板右下角写出总结框）：

• 定义：形状相同 + 连线共点
• 位似比：$k = \frac{OA′}{OA}$
• 位置：外/内/边上
• 关系：位似⊂相似

设计意图：通过再次复述、结构图整理，帮助学生将零星知识纳入已有认知体系（相似图形），形成结构化的记忆。教师用“位似⊂相似”这样简洁的符号关系，对比记忆效果好。

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环节6：作业设计（分层布置，控制时长）

时长：3分钟

教师活动：

教师布置作业：“今天的作业分为两部分。基础题必做，主要通过判断来巩固定义；提高题选做，增加一些简单的作图操作和思考。”

教师强调书写规范：“在判断是否位似时，要先写出定义的两个条件，然后一一验证。在作图时，要标注位似中心和位似比。”

学生活动：

学生记录作业要求。部分学生举手询问：“老师，提高题可以用网格纸画吗？”教师回应：“可以。方格纸就在练习本上画就行，注意标清字母。”

设计意图：分层作业既保证基础巩固，又为有余力的学生提供拓展空间。控制时长在10分钟左右，确保符合“双减”政策（书面作业总时长≤90分钟/天的上限）。

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七、板书设计

板书区域	内容要点
中央主题	位似图形概念
左分支（定义）	①形状相同（与相似一致） ②对应点连线交于一点（位似中心O） ③位似比 $k = \frac{OA′}{OA}$
右分支（案例辨析）	正例1: △ABC与△A′B′C′位似，O在外 反例1: 两正方形形状相同但连线不共点 → 不位似 反例2: 连线共点但形状不同 → 不位似
关系栏	位似 ⊂ 相似（相似不一定是位似）
变式练习栏	题1: 已知位似图形，找位似中心（连接对应点求交点） 题2: 画图分类讨论（O在内部/外部） 题3: 坐标法判断（比例相等 + 共点）
总结栏	关键条件：①形状相同 ②对应点连线共点 易误：对应顶点配对错误

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八、作业设计

基础作业（必做）：

1. 判断下表中每组图形是否是位似图形。若是，请指出位似中心；若不是，请对照定义的两个条件说明理由。

（教师可在下次课前提供手绘图形，此处以文字描述替代）

• 图①：△ABC与△A′B′C′，其中A(0,3), B(1,1), C(2,2)；A′(0,6), B′(2,2), C′(4,4)，且AA′、BB′、CC′交于O(0,0)
• 图②：两个全等的正方形ABCD和A′B′C′D′，位置关系如平移（对应边平行，对应顶点连线互相平行）
• 图③：△ABC与△PQR，其中AB=PQ=3, BC=QR=4, 但∠B=60°, ∠Q=50°

（预估用时：5分钟）

拓展作业（选做）：

1. 在方格纸上，以点O(2,2)为位似中心，将三角形ABC（顶点坐标自定，建议取A(1,1), B(3,1), C(2,4)）放大为原来的2倍，并画出位似图形。思考：若位似中心在三角形的一条边上（如BC边上任意一点），画出的图形会有怎样的位置变化？

（预估用时：8分钟）

合计预估时长：13 分钟

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核心公式速查表

序号	公式/定理名称	LaTeX 表达式	适用范围
01	位似比定义	$k = \frac{OA′}{OA}$	已知位似中心O，求放大或缩小比例
02	位似中心找法	连接两组对应顶点，直线交点为位似中心	已知位似图形，求位似中心
03	位似图形性质	对应边成比例且对应角相等	判断是否位似时验证形状相同
04	相似判定	两三角形对应边成比例且夹角相等，或两角对应相等	位似是相似的特例
05	位似与相似关系	位似$\subseteq$相似	所有位似图形都是相似图形，逆命题不成立

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教学反思模板（课后填写）

1. 目标达成情况： 学生能在正反例判读中正确解释“位似”的两个核心条件。部分学生对“对应顶点配对”这一隐含前提的理解仍有模糊，需要在后续练习中强化。
2. 学生参与情况： 在“同桌互讲”环节中，多数学生能用自己的语言给同伴讲解判断过程，课堂讨论氛围活跃。中等生在方格纸画图环节中操作较慢，需要适当延长操作时间。
3. 教学调整记录： 变式练习中“位似中心在图形内部”的例题设计较充分，但“位似中心在图形边上”的情形可以再增加一个具体例子，帮助记忆。
4. 下节课改进方向： 下节课将以“平面直角坐标系中的位似”和“利用位似进行图形缩放”为核心内容，继续巩固位似图形概念，并与坐标方法结合。有条件的学校可引入《几何画板》动态演示。

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本教案由 BestTeach AI 辅助生成，依据《人工智能生成合成内容标识办法》（国信办〔2025〕第3号）第 5 条标识。教师应独立审核修改后使用。