用列表法求概率教案

课程名称	课时安排	教学类型	授课对象
数学·用列表法求概率	45分钟	新授课	九年级（初三）·普通城市校学生

教材版本	授课教师	教学主题	课标依据
通用版本	__________	两步等可能试验的概率计算——列表法	《义务教育数学课程标准（2022年版）》：数据意识、运算能力、符号意识

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一、教材分析

“用列表法求概率”是概率与统计领域的核心内容之一，它在学生已掌握“事件的可能性大小”和“单一试验中简单等可能事件的概率计算（枚举法）”基础上展开。学生此前已经能够通过直接列举所有等可能结果来计算概率，但当试验步骤增加（从一步到两步）或结果总数变大时，枚举法在操作上变得繁琐且极易遗漏或重复，这就产生了系统化、结构化列举的认知需求。

本课承担的教材功能是多重的：第一，它完成了从“枚举法”到“列表法”的方法升级，帮助学生建立程序性知识——当试验涉及“两步”且结果有限等可能时，列表法提供了直观、不重不漏的计数工具；第二，它深化了“等可能性”这一概率核心概念的理解——学生必须通过列表明确认定每个格子对应一个等可能结果，反过来说，“无序”试验必须转化为“有序”结果才能正确列全；第三，本课为后续学习“树状图法”与“用频率估计概率”搭建认知阶梯——列表法适合两步试验，当试验步骤达到三步及以上时，树状图法将更高效，这种“方法随条件变化而优化”的思想本身就是数学建模素养的体现。

从知识体系看，本课位于“概率初步”章节的中段，前接“事件分类”与“等可能事件的概率定义”，后续链接“树状图法”、“用频率估计概率”以及高中阶段的“条件概率”与“独立事件”。因此，本课教学不能仅停留在“会画表格”这一操作层面，而应让学生在“为什么要列表”“列表解决什么问题”“列表与枚举法相比好在哪里”三个追问中，真正理解列表法的思想内核——把“两步”分离为“第一步×第二步”的结构化思维。

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二、学情分析

授课对象为普通城市校九年级学生。从认知发展看，九年级学生正处于形式逻辑思维快速发展期，能够进行抽象推理和分类讨论，但具体操作时仍容易受思维定势和粗心干扰。该校学生两端分化明显，约20%的学生基础扎实、运算能力强、对新方法接受快，约30%的学生在小学阶段就存在“组合计数”的困难，中等生（约50%）能跟上常规教学过程，但在“等可能计数”这一精确性要求较高的环节容易出错。同时，家庭辅导参差不齐，部分学生对概率概念仅有零散的生活经验（如“掷硬币公平”“抽奖中奖概率低”），缺乏对“等可能性”这一数学前提的严格认知。

学生已有知识基础包括：（1）能判断简单事件（必然事件、不可能事件、随机事件）；（2）能用 $P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能结果总数}$ 这一公式计算单一试验的概率（如抛一枚硬币、掷一枚骰子）；（3）具备基本的乘法原理直觉——“两步试验的结果总数等于第一步结果数乘以第二步结果数”。学生面对的主要障碍有三个：第一，“有序”与“无序”的辨析——当两枚硬币同时抛时，学生容易把“正反”和“反正”当作同一个结果，进而导致概率算错；第二，对“不放回”试验中的表格处理——学生虽然知道“不放回”意味着同一元素不能同时出现两次，但落实到列表时常常忘记去掉对角线；第三，将生活语言转化为数学符号的困难——“点数之和为5”这句话有三个理解层次：学生A能正确列出所有和为5的数对，学生B知道要统计和为5的格子数，学生C则需要在表格中精准定位这些格子，并计算概率。

因此，本课教学语言需要在学科术语（如“等可能结果”“两步试验”）与生活化解释（“就像你投两次骰子，第一次的结果和第二次的结果都必须考虑到”之间灵活切换，同时设计充足的“学生解释给同伴听”的互动环节，让中等生有机会在表达中理清思路，让后进生能通过同伴的帮助理解表格的逻辑。

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三、教学目标（核心素养导向）

1. 【对应核心素养：数据意识】通过列举“抛两枚硬币”与“掷两枚骰子”两个具体情境，学生能解释列表法适用于“两步试验”且试验结果有限、每个结果等可能的情形，并能用自己的话区分列表法与枚举法适用场景的区别（至少说出一个适用列表法但枚举法不方便的例子）。

2. 【对应核心素养：运算能力】通过完成从“列出所有等可能结果”到“计算指定事件的概率”的完整流程，学生能描述列表法求概率的标准化步骤（定行、定列、填格、计数、代入公式 $P(A)=\frac{m}{n}$），并能举例说明列表时如何确保结果不重不漏（如“先固定第一步的所有结果，再对应第二步的所有结果”）。

3. 【对应核心素养：符号意识】通过对比“用字母A、B表示事件”与“直接列数字结果”两种方式，学生能举例说明符号 $P(A)$ 在列表法中的规范书写方式（如 $P(\text{点数之和为5})=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$），并能向同伴解释表格中每一个单元格对应一个“两步试验结果”的含义。

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四、教学重难点

类别	要点
教学重点	①理解列表法求概率的步骤与原理——能通过画表格系统列出两步试验的所有等可能结果。 ②掌握 $P(A)=\frac{m}{n}$ 在列表法中的规范运用——能在表格中正确计数并代入公式。
教学难点	①区分“有序”与“无序”试验——学生容易将“抛两枚硬币”的“正反”与“反正”误认为同一结果，导致概率计算错误。 ②“放回”与“不放回”试验中表格的差异——学生可能忽略“不放回”时表格对角线应去掉，导致结果总数错误。

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五、教学资源与准备

教师准备：

• 多媒体课件（含动态列表演示：单击“第一步”列显示第一枚骰子的所有可能结果，单击“第二步”行显示第二枚骰子的所有可能结果，自动生成完整表格并高亮指定事件对应格子）
• 学案纸（预印表格框架三套：①空表6×6网格，②空表3×3网格，③放回与不放回对比表）
• 骰子实物（教师演示用大骰子2枚）
• 彩色粉笔（分别标记“行”“列”“对角线”）

学生准备：

• 草稿本、铅笔、直尺（用于画表格）
• 回顾“枚举法”的基本操作——预备问题：“同时抛两枚硬币，可能出现哪些结果？有几种可能？”

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六、教学过程（总时长 45 分钟）

环节1：创设情境（激活已有经验，引发认知需求）

时长： 5分钟

教师活动： 教师展示PPT画面：一枚硬币和两枚硬币的对比图。 “同学们，我们先从最简单的问题开始。请问：抛一枚硬币，正面朝上的概率是多少？” 预设学生齐答：$P=\frac{1}{2}$。 教师追问：“很好。那如果同时抛两枚硬币，出现一正一反的概率是多少？谁来说说你的想法与做法？” 请一位中等生回答。预设学生回答：“可能的结果有：正正、正反、反反，三种结果中一正一反只占一种，所以概率是 $\frac{1}{3}$。” 教师不立刻纠正，而是将学生的答案写在黑板上：“这位同学认为是三种结果，一正一反的概率是 $\frac{1}{3}$。有没有同学不同意？”（引发认知冲突） 如果学生没有自动纠正，教师再问：“那如果我们把两枚硬币编号，一枚叫硬币A，一枚叫硬币B，结果会不会不一样？”引导思考“编号”即“有序”的本质。 约30秒后，教师揭晓答案：“实际上，一正一反的概率是 $\frac{1}{2}$，而不是 $\frac{1}{3}$。为什么错了？这就要学会今天的方法——列表法。” 接着过渡：“如果抛的不是硬币而是两枚骰子，点数之和为5的概率是多少？枚举法把结果一个一个列出来，方便吗？”学生摇头或举手表示麻烦。教师顺势引出：“今天我们要学一个把‘两步试验’的所有结果‘一网打尽’的方法——列表法。”

板书要点：

• 中央写课题：用列表法求概率
• 左侧写错误案例：抛两枚硬币，一正一反——$\frac{1}{3}$（❌错）
• 右侧括号留白：“为什么错？➡列表法”

学生活动： 一名学生尝试口头枚举两枚硬币的结果，写出“正正”“正反”“反反”共三种，其余学生反应：有人同意，有人举手反对。教师请一名反对的同学补充：“我觉得还有‘反正’！”全班开始小声讨论。学生拿起草稿本尝试用编号法（硬币A和硬币B）列举，进而发现“正反”与“反正”是两个不同结果，因而共四种结果，一正一反占两种（正反、反正），概率为 $\frac{1}{2}$。学生在认知冲突中初步建立了“有序与无序”的意识，对新方法产生了期待。

设计意图： 从学生已有经验（抛一枚硬币）过渡到两步试验（抛两枚硬币），用“两枚硬币”这一简单实例引发认知冲突——日常生活中人们常说“两个硬币丢下去，一正一反的概率和两正两反一样”，这其实是源于“有序/无序”的混淆。本环节通过“学生错误回答—同伴质疑—重新枚举”的完整过程，让学生亲身体验“不系统列举”导致的错误，自然引出“结构化列举”的需求。这是创设情境的典型策略：激活旧知→制造认知缺口→指向新知。

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环节2：探究新知（经历概念/法则的形成过程）

时长： 15分钟

教师活动： “好，让我们正式来学列表法。看这个例子——同时掷两枚骰子（骰子A和骰子B），点数之和为5的概率是多少？” 教师先在黑板上画出两条轴线：“第一步，先定好表格的行和列分别代表什么。同学们觉得行和列应该代表什么？” 预设学生回答：“行代表骰子A的点数，列代表骰子B的点数。”或相反，教师均予以肯定。 教师在黑板上画出一个6行6列的大表格框架（行标为骰子A点数16，列标为骰子B点数16）。 “接下来要做什么？填格子。每个格子填什么？数学里我们用数对 $(a,b)$ 表示一次试验的结果——括号里第一个数表示骰子A的点数，第二个数表示骰子B的点数。比如第1行第1列，骰子A=1，骰子B=1，结果是 $(1,1)$。” 教师示范填前三行：“大家注意，36个格子每个格子都对应一个不同的结果，而且每个结果发生的可能性是相等的——这非常重要！等可能性是概率计算的前提。” 请一位学生走到黑板前填写第4~6行。学生填写时，教师提示：“注意，不要漏掉任何一个格子，填的时候可以一行一行系统进行。” 填完后，教师问：“一共有多少个格子？”学生答：“36个。”教师板书“$n=36$”。 “好，现在‘点数之和为5’怎么找？哪些格子中的两个数加起来等于5？”学生举手回答： $(1,4)$、 $(2,3)$、 $(3,2)$、 $(4,1)$ 共4个格子。教师用红色粉笔圈出这四个格子。 “事件A=‘点数之和为5’包含的结果数 $m$ 是多少？”学生答：“4。” 教师板书：

$$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$

“至此，我们完成了完整步骤。请大家把步骤口述一遍——先用行和列代表两步试验的每个结果，然后填表格，再计数，最后代入公式。”教师边说边在黑板上板书步骤要点。

板书要点：

板书区域	内容要点
中央	用列表法求概率（完整例题：掷两枚骰子，点数之和为5）
右侧上方	表格框架（6×6，已填10格示例）
右侧下方	步骤：①定行（骰子A），定列（骰子B）→②填格子（数对 $(a,b)$ ）→③计数（总数 $n=36$，事件包含数 $m=4$）→④代入公式 $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$
左下方	关键前提：等可能性！

学生活动： 学生在学案纸上的6×6空白表格（教师已提前印好）中同步填写。前3行由教师带着填，后3行由学生独立填充。全部填完后，同桌互相检查：是否漏填行或列？数对顺序是否写反？教师提问：“有没有同学发现，填 $(3,2)$ 和 $(2,3)$ 算两个不同的结果，原因是什么？”指名回答：“因为骰子A和骰子B不同，所以调换顺序后结果不同。”教师追问：“那如果骰子A和骰子B没有任何区别（比如两枚相同的硬币同时抛），表格还一样吗？”学生陷入思考，有的说“那 $(2,3)$ 和 $(3,2)$ 就是同一个结果”，教师追问：“那表格应该减少几行？”学生讨论后回答：“不应该减少行，因为物理上两个行为是独立的——即使硬币看起来一样，空间上它仍然是两个不同的个体，所以计数时仍然需要考虑顺序。”教师肯定：“很好，这就解释了为什么抛两枚硬币有4种结果，而不是3种。”最后，学生在练习本上完整写出计算过程。

设计意图： 本环节的核心是“程序性知识的建构”。教师在示范表格填法时，并非一次性全部填完，而是“带三行、放三行”，让学生在模仿中建立操作的程序化认知。最关键的点在于“等可能性”的强调：为什么表格中的36个格子每个都是等可能的？因为两颗骰子是独立的，每个面朝上的概率相等，所以每对一个组合的概率都是 $\frac{1}{36}$。如果不强调这一步，学生将机械套用表格，一旦遇到“非等可能”的情境（如硬币与骰子混合）就会出错。同时，通过追问“两枚相同硬币”的列表问题，自然引出下面“有序与无序”的核心辨析。

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环节3：变式练习（多角度巩固，防止单一思维定势）

时长： 8分钟

教师活动： “同学们，刚才我们用列表法解决了骰子问题。现在，请独立完成下面的变式题。” PPT出示两道题：

• 变式1（放回）：一个袋子中有3张卡片，分别写有数字1、2、3。从袋中有放回地连续摸两次，每次摸一张，记录摸到的数字。求“两次摸到的数字之和为4”的概率。
• 变式2（不放回）：一个袋子中有3张卡片，分别写有数字1、2、3。从袋中不放回地连续摸两次，每次摸一张，记录摸到的数字。求“两次摸到的数字之和为4”的概率。

教师说：“谁来说说两个变式题的区别是什么？”指名回答：“一个是有放回，一个是无放回。”教师追问：“那这两种情况在列表时有什么不同？”请学生先独立思考一分钟，再同桌讨论两分钟。 讨论结束后，教师请两桌四人小组的代表上台，在黑板上的3×3空表中填写变式1的表格所有内容（9个格子全部填满），然后在另一张3×3空表上填写变式2的表格——学生发现“不放回”意味着自己摸到自己不允许（比如第一次摸到1，第二次不能再摸到1），因此对角线上的格子应该划掉（用彩笔标记空洞），于是总格子数从9个变为6个。教师在学生填错时予以纠正：“注意，对角线去掉的是 $(1,1)、 (2,2)、 (3,3)$ 三个格子，剩下左下方3个和右上方3个，共6个格子。” 然后让学生分别计算两个事件的概率。

板书要点：

板书区域	内容要点
左侧	变式1（放回）：3×3表格（完整9格）→ $n=9$ ，和=4的有 $(1,3)(2,2)(3,1)$ → $m=3$ → $P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
右侧	变式2（不放回）：3×3表格（去掉 $(1,1)(2,2)(3,3)$ ，剩6格）→ $n=6$ ，和=4的有 $(1,3)(3,1)$ → $m=2$ → $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
下方	对比结论：不放回时表格的“对角线”必须去掉——因为同一元素不能出现两次

学生活动： 学生先独立完成变式1的列表和计算，用时约3分钟。接着尝试变式2——约一半的学生会直接照搬变式1的9格表格，没有去掉对角线，只有几个学生意识到需要调整。同桌互查时，发现差异：“你有没有去掉 $(1,1)$？为什么去掉？”学生通过讨论还原“不放回”的物理含义——第一次摸到数字1后，卡片没有放回，第二次不可能再摸到1，因此所有 $(1,1)、(2,2)、(3,3)$ 这一类“两次数字相同”的结果都不可能发生，必须在表格中删除。全班形成共识后，学生修正了自己的表格，并算得两个概率居然相等（均为 $\frac{1}{3}$）——教师追问：“两个概率相等正常吗？为什么？”学生通过观察发现：虽然结果总数减少了（9→6），但“和为4”对应的有利结果也减少了（3→2），比值没有变化。这为后续“等可能条件变化导致概率不变”提供了直观素材。

设计意图： 变式1和变式2的设置目的很明确：一个是“放回”，一个是“不放回”，两者的本质差异在于“试验结果总数是否包含自身与自身的组合”。通过两次对比，学生能直观地看到“放回”时表格全部填满，“不放回”时对角线必须删除。这种硬性的表格处理规则一旦通过亲身操作获得，就不容易遗忘。变式题的另一个作用是打破“做分式题就机械套公式”的思维定势——学生需要同时调整分子和分母，而不是单纯地对九分之几做调整。

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环节4：错误辨析（针对本节课典型易错点）

时长： 7分钟

教师活动： 教师展示PPT上的三个“错误案例”，并配以说明：“这些都是上一届批改作业时收集的典型错误，今天请大家来当小老师，判断对错并说明理由。”

错误案例一： “抛两枚骰子，点数之积为偶数的概率。” 某学生的列表：他先把骰子A的结果放在行（16），骰子B的结果放在列（16），填入的却是“点数乘积”而非数对。然后他统计乘积为偶数的格子数为27个，得到 $P=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$。 教师提问：“这位同学的做法有没有问题？结果对不对？” 学生发现：填入乘积是可行的——表格中每个格子代表的仍是“一次试验结果”，乘积是其性质，不是新结果。因此他的计算正确，但方法不是规范的“填数对”。教师追问：“那如果他要求的是‘至少有一个骰子点数为6并且乘积为偶数’，这种填法还能直接数出来吗？”引导学生意识到：填“乘积”方便计算乘积相关问题，但一旦事件条件复杂，数对法更通用。

错误案例二： “抛两枚硬币，求两枚硬币正面都朝上的概率。” 某学生表格：

	H1	T1
H2	HH	HT
T2	TH	TT
他得出结论：$P=\frac{1}{4}$。
教师提问：“这个表格对吗？有遗漏吗？”
学生指出：他的行标用H1/T1，列标用H2/T2，实际上两枚硬币虽然是相同的，但仍然是两个独立的个体，所以这个表格是对的——有4个格子，其中HH占1格。这个案例的作用是巩固“相同硬币仍然要考虑顺序”。

错误案例三（核心难点）： “从1、2、3、4四个数字中任意抽取两个（顺序无关，即组成无序对——如 $(1,2)$ 和 $(2,1)$ 视为相同），求两个数字之和为5的概率。” 某学生的做法：他直接使用列表法，行列都是1~4，填写所有 $(i,j)$ 数对，得到16个格子，发现和为5的有4个格子： $(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)$ ，得到 $P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$——但正确答案应该是 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$（因为无序对只有 $(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)$ 共6个）。 教师提问：“这里的问题出在哪里？列表法是不是可以适用于任何情况？” 学生经过讨论认识到：题目明确说“顺序无关”，即 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 视为同一个结果。而列表法默认 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 是不同的（因为行列位置交换就是不同的组合），因此用列表法直接套用在“无序对”情景下会导致重复计数。正确做法是：要么使用组合计数（$\binom{4}{2}=6$，和为5的有 $(1,4)(2,3)$ 共2个），要么在列表后手动合并（把对角线两侧对称的格子合并）。 教师总结：“列表法适用于‘两步试验’且‘顺序相关’的情形。如果题目明确说‘顺序无关’，则不能直接用列表法，或者用表格后要除以2消除重复。”

板书要点：

板书区域	内容要点
案例1	填乘积可行但不够通用
案例2	相同硬币表格4格正确
案例3（重点）	无序对 ⇒ 列表会多一倍 ⇒ 解决：用组合数或表格后去重

学生活动： 学生四人一小组讨论每个案例。针对案例3，很多学生一开始坚持认为列表法可以解决任何问题——因为他们刚刚学会列表法，“锤子看什么都像钉子”。当教师指出“顺序无关”时，学生感到困惑：“为什么不能直接用表格？”随即有同学发现：“因为 $(1,4)$ 和 $(4,1)$ 在无序对中对应同一个结果，但在列表表格中占2格，所以会导致重复计算。”教师追问：“那如果我就想用表格，该怎么处理？”学生讨论后回答：“可以先用表格列出所有有序对，然后手动把对角线两侧相同的格子删掉一个。”教师补充：“更高效的方法是直接使用组合数计数，未来我们会学到。”最后，全班用“梳理条件法”完成正确计数：无序对共6个，和为5的有2个，概率为 $\frac{1}{3}$。

设计意图： 错误辨析环节不能停留于“教师展示错误→学生指错”的浅层互动。本环节的三个案例各有侧重：案例1检验“列表的灵活度”（填的内容不一定是数对），案例2巩固“有序性”的意识，案例3则是拔高点——揭示列表法本身的局限（不适合顺序无关的试验）。案例3的设计尤为关键：如果学生始终认为自己已经掌握了“万能”的方法，则对后续“组合”知识的学习会产生认知上的障碍；通过在辨析中明确“列表法适用于有序两步试验”，学生就能意识到“数学方法都是在一定条件下成立的”，从而形成审题分析条件的习惯。

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环节5：总结提升（建构知识结构，梳理思想方法）

时长： 5分钟

教师活动： “我们回到上课开始那个问题——为什么抛两枚硬币一正一反的概率是 $\frac{1}{2}$ 而不是 $\frac{1}{3}$？现在你能用列表法来证明吗？” 请学生在草稿本上用表格画出两枚硬币的列表——教师快速画出一个2行2列的表格（H代表正面，T代表反面），表内填四种结果：HH、HT、TH、TT。教师问：“一正一反包含哪几个格子？” 学生答：“HT和TH，共2个格子。”教师板书：$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。 “现在我们来总结列表法的适用条件和操作步骤。首先，什么情况下可以用列表法？” 教师逐条提醒并与学生互动：

• 两步试验（“为什么不能用于三步？因为三步试验需要三维表格，画不出来”）
• 结果有限（“如果是连续抛一个骰子直到掷出6点，就不能用”）
• 每个结果等可能（“这是概率计算的前提”）
• 且顺序相关（“顺序无关时需去重”）

然后教师引导：“那列表法和我们之前学的枚举法，以及将要学的树状图法，到底有什么区别？谁能用一句话概括？” 预设学生回答：“枚举法适合结果总数少的情况，列表法适合两步且结果多的情况，树状图法适合三步及以上的情况。” 教师在黑板上画出三个方法的对比框架图。

板书要点：

板书区域	内容要点
中央	求概率的方法对比
左分支	枚举法：适合结果少（≤4个结果）；缺点：易遗漏或重复
中分支	列表法：适合两步试验；优点：系统化不遗漏；缺点：三步及以上不行
右分支	树状图法：适合两步及以上（预习）；优点：可扩展
下方	核心公式：$P(A)=\frac{m}{n}$ 永远不变；列表只改变计数方式

学生活动： 学生闭眼回忆五分钟内学到的内容：“第一步定行列、第二步填格子、第三步计数、第四步代入公式”。同桌互说：“你来说一遍适用条件。”一名学生说：“两步试验，结果有限，每个结果等可能，并且顺序有关。”另一名学生补充：“如果是不放回，要去掉对角线。”学生拿出笔记本将这三个条件记下。最后齐读总结：“列表让计数不重不漏。”

设计意图： 总结提升的核心在于“结构化”——帮助学生把零散的知识点（列表法、枚举法、树状图法）整合为一个完整的认知框架，明确每种方法适用哪种条件，做到“什么情形用什么工具”。同时通过复述和同伴互说，强化记忆和理解。

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环节6：作业设计（分层布置，控制时长）

时长： 3分钟

教师活动： 教师边发作业纸边说：“今天的作业分两层。基础题必须做，做完后同桌互相检查列表表格；提高题选做，但做完后第二天在课堂上请同学分享你们的‘自编题目’。”

基础题（必做）： “同时掷两枚骰子，求点数之积为6的概率。要求：先画出6×6的表格，标出所有满足条件的格子，再写出计算过程。”

教师提示：“注意，题目说‘同时掷’，并不意味着没有先后顺序。在列表法中，骰子A和骰子B是独立的，所以 $(2,3)$ 和 $(3,2)$ 是两个不同的结果，都要算进去。”

提高题（选做）： “设计一个‘两步试验’的题目，要求必须用列表法求解，并且用文字说明为什么不能用枚举法直接解决。题目可以是‘计算某种情形的概率’类的应用题（如抽签、摸球、投篮命中等），或者找生活中的概率问题。”

教师补充鼓励：“如果你能设计出让我都觉得新奇的题目，明天全班分享！”

板书要点：

作业类型	内容要求
基础题	6×6表格 + 完整计算过程（10分钟）
提高题	自编两步试验题目 + 列表法详解（15分钟，选做）

学生活动： 学生把作业要求记录在记事本上。同桌间开始小声讨论自编题目的情境选择：“设计一个抽奖的题目吧？”“可以设计抛三次硬币的题目吗？”教师适时提醒：“注意，两步试验，不能是三步哦。”学生点头。

设计意图： 分层作业的设计遵循“双减”政策要求——基础题控制时长（10分钟），提高题是选做、不强制，合计不超过25分钟。基础题直接巩固本节课的核心知识点（列表法计数），而提高题通过“自编题目”的方式，要求学生必须理解“列表法适用的条件”才能出对题目，这一过程本身就是对知识的高层次应用。

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七、板书设计

板书区域	内容要点
中央主题	用列表法求概率
左分支（情境）	情境引入：抛两枚硬币一正一反的概率？（回顾）→ 需系统计数
中央（方法）	核心步骤：①定行列 → ②填格子 → ③计数（$n$、$m$） → ④$P=\frac{m}{n}$
右分支（示例）	例题：掷两枚骰子，点数之和为5 → 5×5表格 → $P=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$
下方（易错点）	有序 vs 无序：两枚硬币正反与反正不同；放回 vs 不放回：对角线须去掉
总结栏	适用条件：两步试验、结果有限、等可能、顺序有关；公式 $P(A)=\frac{m}{n}$（永远不变）

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八、作业设计

基础作业（必做）：

1. 同时掷两枚骰子，求点数之积为6的概率。要求：画出完整的6×6表格，用红笔标出所有“积为6”的格子，再写出计算过程和结果。 （预估用时：10分钟）

拓展作业（选做）：

1. 设计一个“两步试验”的题目（如口袋中摸球、抽签、双人比赛等），要求必须使用列表法才能方便、不遗漏地计数。写出题目的背景、两步试验的详细描述，然后用列表法求解，并附一段50~100字的说明，解释为什么枚举法不适合你的题目（例如“因为两个步骤相互独立，直接枚举容易遗漏”）。 （预估用时：15分钟）

合计预估时长：25分钟（基础题10分钟+提高题15分钟选做，符合双减政策）

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核心公式与定理速查表

序号	公式/定理名称	LaTeX 表达式	适用范围
01	概率基本公式	$$P(A)=\frac{m}{n}$$	所有等可能事件概率计算，$m$=事件A包含结果数，$n$=试验结果总数
02	列表法计数规则（两步试验）	$$n = (\text{第一步结果数}) \times (\text{第二步结果数})$$	两步独立试验，且顺序相关时
03	放回与不放回的差异	放回：$n=\text{行数}\times\text{列数}$；不放回：$n=\text{行数}\times\text{列数}-\text{对角线格子数}$	放回时包含自身与自身的结果，不放回时排除
04	有序与无序的关系	无序对个数 = $\frac{n(n-1)}{2}$（无重复元素且顺序无关）	从$m$个不同元素中取2个（顺序无关）
05	等可能性前提	每个基本事件发生的可能性相等	使用 $P(A)=\frac{m}{n}$ 的前提条件

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教学反思模板（课后填写）

1. 目标达成情况：

   • 学生是否能解释列表法适用于两步等可能试验？
   • 学生是否能描述列表法四步骤？
   • 学生是否能举例说明列表时如何不重不漏？

2. 学生参与情况：

   • 掌握较好的学生占比约_____%
   • 仍然存在困难的学生（主要体现在有序/无序混淆、放回/不放回表格差异）约_____%
   • 课堂互动中，学生能否用自己的话复述关键概念？

3. 教学调整记录：

   • 哪些环节学生反应积极/困惑？需要增减什么活动或例题？
   • 错误辨析环节的案例是否足够典型？是否需要增加“同时抛三枚骰子”与“两步试验”的对比？

4. 下节课改进方向：

   • 作业批改后将统计学生对“放回/不放回”表格的掌握情况，若出错率高，增加3分钟课前小练习；
   • 提前预告下节课内容：树状图法（三步试验）——重点对比两种方法。

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本教案由 BestTeach AI 辅助生成，依据《人工智能生成合成内容标识办法》（国信办〔2025〕第3号）第 5 条标识。教师应独立审核修改后使用。