画树状图求概率教案

课程名称	课时安排	教学类型	授课对象
数学·画树状图求概率	45分钟	新授课	九年级（初三）普通城市校学生，中等生为主体，两端分化明显

教材版本	授课教师	教学主题	课标依据
（未指定）	__________	用树状图法列举等可能结果并计算概率，理解多步随机试验的计数策略	《义务教育数学课程标准（2022年版）》：运算能力、符号意识、应用意识

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一、教材分析

“画树状图求概率”是初中数学“概率”领域的核心内容之一。在之前的学习中，学生已经掌握了简单随机事件（一步试验）的概率计算，以及用列表法列举两步试验的所有等可能结果。本节课在此基础上，将试验步骤从两步拓展到三步及以上，系统引入树状图这一直观的计数工具，帮助学生解决列表法难以处理的“多步试验”问题。

从知识体系看，概率是刻画随机现象的重要工具，与统计、函数、方程等板块均有交叉。树状图法不仅用于求概率，还为学生后续学习排列组合、条件概率等高中内容奠定了图形化思维基础。本节课作为“概率”单元承上启下的环节，核心任务是让学生理解树状图的结构逻辑（分支代表每种可能，层数代表试验步骤），并能够根据试验条件（放回/不放回、有序/无序）灵活调整分支数量。教材通常以“摸球”“掷骰子”“转盘”等生活情境为载体，强调在等可能前提下，树状图的完整性与对称性是计数准确的关键。通过本节课的学习，学生不仅能掌握一种新方法，更能深化对“等可能事件”本质的理解，提升有序思考、分类讨论的能力。

在普通城市校的教学中，需注意学生认知水平的差异：基础较好学生可能提前接触过树状图，但易忽视“不放回”时的分支变化；基础薄弱学生则容易在画多层分支时遗漏或重复。因此教材处理应侧重于“过程性”——从两步放回过渡到两步不放回，再到三步试验，逐步增加复杂度，确保每位学生都能在最近发展区内获得成长。

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二、学情分析

授课对象为普通城市校九年级学生。经过七八年级的学习，学生已经具备以下基础：①能计算简单随机事件的概率 $P(A)=\frac{m}{n}$；②会用列表法枚举两步试验（如“掷两枚硬币”）；③具有一定的符号意识，能使用字母或数字表示试验结果。但九年级学生形式逻辑思维虽在快速发展，仍处于从具体运算到形式运算的过渡期，对于“三步及以上试验”的抽象计数容易感到困难。

结合“两端分化明显，中等生为主体”的校情，具体障碍表现为：

1. 图形建构困难：列表法基于二维表格，学生容易理解；而树状图是多层树形结构，学生在画三步试验时，常有“忘记在某个分支下继续画下一层”的问题，导致分支不对称、结果总数错误。背后的认知原因是学生缺乏“每一步都要对之前的所有结果进行等可能细分”的元认知监控。

2. 条件转换混淆：当题目由“放回”变为“不放回”时，第二步的分支数会减少，但不少学生机械照搬“放回”的分支数，导致错误。这说明学生尚未理解“每次试验的等可能性依赖于试验条件”，容易把“公平”等同于“每一步分支数相同”。

3. 学习动机分化：普通城市校中，部分学生对概率学习兴趣较浓（源于游戏、抽奖等生活经验），但也有一部分学生认为“概率就是背公式”，遇到繁琐画图时容易放弃。因此需要设计“认知冲突”型情境（如：用列表法解决三步问题失败），激发全体学生的探索欲望。

针对上述学情，教学策略应为：① 从两步放回入手，降低起点，让中等生“有法可依”；② 通过“放回vs不放回”的对比，精准突破条件混淆；③ 设置分层练习，让学困生完成基础题，优等生挑战三步及以上问题，避免“一刀切”。

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三、教学目标（核心素养导向）

1. 【对应核心素养：运算能力】通过画树状图列举两步及三步试验的所有等可能结果，学生能解释树状图法的步骤与原理（定步骤→分层次→标结果→数总数），并能用自己的话表述“每层分支数必须相等，且结果互斥等可能”的道理。

2. 【对应核心素养：符号意识】通过用字母（如 $R_1,R_2,W$）或数字表示试验中不同结果，学生能描述树状图中“节点”与“分支”的数学含义，并能举例区分“有序试验”（如先后摸球）与“无序试验”（如同时掷骰子）在画图时的不同处理方式——有序需严格分层，无序可合并分支但需注意等可能。

3. 【对应核心素养：应用意识】通过解决“摸球放回与不放回”“三人抽签”等生活情境问题，学生能举例说明树状图法在分析复杂随机事件（三步及以上）中的优势，并能判断“何时必须用树状图”（两步以上/列表法维度不够时）以及“何时两者皆可”。

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四、教学重难点

类别	要点
教学重点	①用画树状图法列举等可能结果，并准确计算概率 $P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能结果总数}$ ②掌握树状图的标准画法：确定试验步骤 → 分层画出所有分支 → 在末端标记结果 → 计数
教学难点	①当试验步骤超过两步（三步及以上）时，学生容易遗漏分支或重复计数，难以保持树状图的完整性与对称性 ②区分“放回”与“不放回”对树状图分支数的影响，避免条件混淆

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五、教学资源与准备

教师准备： 多媒体课件（含动画演示树状图分支扩展过程）、投屏展示工具（实时投影学生作品）、红白两色磁性小球道具（用于模拟摸球试验）、预设错误案例图片（两步漏分支、三步不对称）。

学生准备： 练习本、直尺、铅笔（便于画分支时修正）、预习回顾“列表法求概率”的步骤。

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六、教学过程（总时长 45 分钟）

环节1：创设情境（4分钟）

教师活动： 教师出示一个透明袋，内装3个乒乓球（2红1白，红球上标 $R_1,R_2$，白球标 $W$）。先演示“一次摸一个球”，提问：“从袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是多少？”学生回答 $P=\frac{2}{3}$。教师再拿出一枚硬币，问：“如果先抛一枚硬币（正面H，反面T），再摸一个球，两步试验，有多少种等可能结果？怎么才能不重复、不遗漏地列出来？”

教师板书旧知：“列表法：第一步硬币两种，第二步摸球三种，表格2×3=6种。”然后出示新问题：“现在我们把试验改为三步：先抛硬币，再摸球，然后抽一张扑克牌（红桃、黑桃两种）。三步试验，还能用列表法吗？”学生犹豫后，教师引导：“表格只有两个维度，三步用不了。今天我们来学习一种更强大的计数工具——画树状图。”

学生活动： 学生口答一步概率，回忆列表法画2×3表格。当教师提出三步问题时，部分学生尝试画三维表格无果，产生困惑：“表格只能两行两列，第三维度放哪？”有学生小声说“可以分成两个表格”，教师暂不评价，引出新方法。

板书要点： 中央写“三步试验”→“列表法局限”→引出“树状图”。

设计意图： 激活学生已有的“一步→两步”认知序列，制造“两步够用，三步不够”的认知冲突，自然引出树状图。同时通过实物演示（摸球、抛币）降低抽象性，符合普通城市校学生具象思维特点。

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环节2：探究新知（15分钟）

教师活动： 出示核心问题：“一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，除颜色外完全相同。从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球。求两次都摸到红球的概率。”

教师引导：“第一步有几种可能？第二步呢？”学生回答：“第一步3种，第二步还是3种（因为放回）。”教师示范在黑板左侧画出第一层：三个分支，分别标 $R_1,R_2,W$。然后从每个节点出发画第二层，每个节点再分三个分支。教师强调：“第一层每个分支下，第二步都是三种可能——因为‘放回’使袋中球没变，所以分支数相同。”画完后，数出总结果数 $3\times 3=9$ 种，标出两次都红的事件 $A=\{R_1R_1,R_1R_2,R_2R_1,R_2R_2\}$，共4种，所以 $P(A)=\frac{4}{9}$。

教师追问：“如果第一次摸出后不放回，树状图会怎么变？”请学生分组讨论。2分钟后，请一位学生上台板演：第一层仍是三个分支，但第二层时，若第一次摸到红球，袋中剩1红1白（2种可能）；若第一次摸到白球，袋中剩2红（2种可能）。总结果数变为 $2+2+2=6$ 种。两次都红的事件变少。教师板书对比两种树状图，引导学生体会“放回vs不放回”本质差异：不放回时，第一步与第二步的分支数可能不同，但每步内部的等可能性没变。

学生活动： 学生先在练习本上独立画“放回”树状图，同桌互查是否遗漏分支。教师请一名中等生上台板演，全班对照修正：发现该生第一步忘标 $R_1,R_2$ 的区别，只写了“红/白”，教师引导：“红球有两个，虽然颜色相同，但编号不同，所以标 $R_1,R_2$ 能确保每个球等可能。”接着学生讨论“不放回”情形，有学生回答：“第一次摸到红球后，袋里少了一个红球，第二步就只剩1红1白，而不是2红1白。”教师追问：“为什么？”学生答：“因为不放回，总数变了。”教师肯定。

板书要点： 黑板左半侧画“放回”树状图（三层全9分支），右半侧画“不放回”树状图（第二层分支数变化），中央写公式 $P(两次都红)=\frac{4}{9}$ 和 $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。

设计意图： 通过“放回”与“不放回”的即时对比，帮助学生理解树状图的结构受试验条件影响，强化“等可能”的前提——每一次试验中，每个结果出现的机会必须相等。同时，同桌互查和板演纠错，能暴露“漏分支”“不标编号”等典型问题，为后续错误辨析铺垫。

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环节3：变式练习（10分钟）

教师活动： 出示变式题：“甲、乙、丙三人玩转盘游戏，转盘被分成三个相等的扇形，分别标有数字1、2、3（如图）。每人各转一次，求三人转到的数字之和为5的概率。”教师先问：“这个试验有几步？”学生答：“三步。”再问：“能用列表法吗？”学生摇头。教室引导：“必须用树状图，而且有三层。第一层是甲的结果3种，第二层乙也是3种，第三层丙也是3种，总结果数 $3^3=27$ 种。注意，数字之和为5，有哪些可能？比如1+1+3, 1+2+2, 1+3+1, 2+1+2, 2+2+1, 3+1+1，共6种。你们用树状图验证一下。”

教师巡视，选取典型作品：完整对称的（所有分支均匀）、有遗漏的（第二层某分支下漏画了丙的分支）。通过投屏展示，组织全班评议：“这个树状图哪里不对？少了几个分支？总结果数应该是多少？”

学生活动： 学生独立画三层树状图，每人画3层×3分支，共27个末端。有学生画到第二层时数错了，只画了9个末端（少一层）；也有学生画了完整27个但没标数字，导致后面数“和为5”时重复计数。教师引导总结：“每画完一层，快速检查该层的分支总数是否等于上一层面数乘以每节点分支数。比如第一层3个节点，每个节点分3个第二层，第二层应有 $3\times3=9$ 个节点；第三层 $3\times3\times3=27$ 个节点。”

板书要点： 列出“三步法”基本模型：总结果数 $=n_1\times n_2\times n_3$（每步的分支数可能不同，如不放回则第二步分支数减少）。写出具体计算 $P(和为5)=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$。

设计意图： 从两步到三步的跳跃，让学生亲身体验树状图在“多步试验”中的不可替代性。同时，通过投屏对比正确与错误的树状图，培养学生的自检能力——即每画一层后数一下节点数是否匹配。

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环节4：错误辨析（8分钟）

教师活动： 出示两个预设错误案例（打印在纸上或PPT展示）：

案例一（漏分支）：一个三步放回摸球树状图，第一层3个分支，第二层每个节点只画了2个分支（应该3个），导致总结果数只有18种（正确应为27种）。

案例二（条件错误）：一道“不放回”摸两次的树状图，第二层仍然画了3个分支（正确应为2个，因为第一次抽走一个球后总数变了）。

教师提问：“请同学们以小组为单位，找出这两个树状图的错误，说明错在哪里，并给出正确的画法。讨论时间3分钟。”小组讨论后，每组派代表发言。针对案例一，学生指出：“第二步有的节点少了分支，说明画图时忘记了，应该每层检查分支数是否相同。”针对案例二，学生分析：“题目说了‘不放回’，第二步袋里只剩下两个球，所以只能画两个分支。正确画法应该是：第一次摸到红球后，第二步只有红和白（2种）；第一次摸到白球后，第二步只有两个红（2种）。”

教师追问：“用树状图时，最容易在哪个环节漏分支？怎么检查？”引导学生总结：“最容易在画到第三层时，某个节点漏画了下一步。检查方法：每画完一层，口头数一遍该层节点总数是否等于上一层面数乘每节点分支数。若总结果数等于各步分支数的乘积，则基本正确。”

学生活动： 学生小组讨论，明确错误类型。代表发言时，有学生补充：“案例一中可以这样检查：第一次3种，第二次3种，第三次3种，总结果数应该是 $3\times3\times3=27$，但图中只有18个，所以肯定漏了。”教师肯定并板书检查公式。

板书要点： 写出检查策略“每层节点数 = 上层节点数 × 本层每节点分支数”，并用案例演示。

设计意图： 针对“漏分支”和“条件误判”两个典型易错点进行集中辨析，帮助学生建立自我检查的元认知策略。通过“找错—纠错—总结”的流程，将知识转化为可操作的检查步骤。

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环节5：总结提升（5分钟）

教师活动： 教师引导学生回顾本节课核心：“我们今天学习了画树状图求概率。请大家用自己的话，向同桌复述树状图的画法步骤，并举例说明树状图与列表法的适用条件。我请两位同学来分享。”随机点名2-3人。

教师板书总结框架：

1. 画树状图步骤：定步骤（读题明确几步）→ 分层画（每层一个步骤）→ 标结果（用字母/数字）→ 数总数（分支末端个数）。
2. 树状图 vs 列表法：两步以内两者皆可，三步及以上必用树状图；列表法适用于“两因素”问题，树状图适用于任意多因素。
3. 检查方法：每层分支数必须相同（放回）或符合条件变化（不放回）；总结果数 = 各步分支数乘积（仅适用于每一步实验条件相同且独立的情况，放回时满足，不放回时不满足乘积关系，需实际计数）。

学生活动： 同桌互述，一人说，另一人补充。教师叫一名中等生回答：“树状图的步骤是：先看题目有几步，比如先摸球再摸球就是两步。第一步画三个分支表示三种球，第二步在每个分支下面再画三个分支——放回的话一样多，不放回的话要减少。”教师追问：“那你怎么知道第二步分支数变了？”学生答：“因为不放回，第一次摸走一个球，袋里球数变了。”教师肯定。另一名学生举例：“如果同时掷三枚硬币，可以用树状图，因为三步，列表法画不了。”教师补充：“同时掷三枚硬币其实可以看作‘三步’——每一枚硬币是一步。”

板书要点： 中央写“树状图求概率”，下方分三栏：步骤、适用条件、检查方法。

设计意图： 通过同伴互述和教师抽查，实现“理解”层级的评价——学生能用自己的话解释，而非机械背诵。同时，梳理知识结构，形成系统认知。

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环节6：作业设计（3分钟）

教师活动： 布置分层作业，提示注意点：

基础题（必做）： “一个不透明的袋中装有3个白球和2个黑球，除颜色外完全相同。从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球。请用树状图列出所有等可能结果，并求两次都摸到白球的概率。”教师提示：“注意标清白球与黑球的个数，分支数不要漏。”

提高题（选做）： “同时掷三枚质地均匀的骰子，求三枚骰子点数之和为5的概率。要求先判断是否适合用列表法，再画出树状图并写出完整计算过程。”教师提醒：“三枚骰子，每枚1~6，总结果数 $6^3=216$ 种，树状图分支很多，但你可以简化：只关注和为5的情形，用树状图枚举出所有和为5的三元组？”

学生活动： 学生记录作业，对于提高题的简化策略有疑问，教师简单解释：“和为5的三元组只有有限种，如(1,1,3),(1,2,2),(1,3,1),(2,1,2),(2,2,1),(3,1,1)，共6种，但注意每个三元组对应的顺序不同，概率是 $\frac{6}{216}=\frac{1}{36}$。不过，完整的树状图还是建议你们画一下，感受216种结果。”

板书要点： 作业要求（必做/选做）和简单提示。

设计意图： 基础题巩固两步放回的核心技能；提高题拓展到三步骰子，且需要学生自行判断“所有等可能结果”与“事件包含结果”的关系，满足不同层次学生的需求，同时总时长控制合理（基础题约8分钟，提高题约10分钟，合计不超过18分钟，符合双减要求）。

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七、板书设计

板书区域	内容要点
中央主题	《画树状图求概率》
左分支	画图步骤：①定步骤（几步）→ ②分层画（每层一个步骤）→ ③标结果（字母/数字）→ ④数总数（末端个数）
中分支	关键对比：放回 vs 不放回（分支数变化） 列表法 vs 树状图（两步都行，三步必用树状图）
右分支	检查策略：每层节点数 = 上层节点数 × 本层每节点分支数；总结果数 = 各步分支数乘积（仅放回、独立时适用）
下方例题	例1（放回）：袋2红1白，两次都红 → $P=\frac{4}{9}$ 例2（不放回）：袋2红1白，两次都红 → $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ 例3（三步）：三人转盘和为5 → $P=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$
总结栏	核心思想：利用树形结构有序枚举所有等可能结果，做到不重不漏

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八、作业设计

基础作业（必做）：

1. 一个不透明的袋中装有3个白球和2个黑球，除颜色外完全相同。从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球。请用树状图列出所有等可能结果，并求两次都摸到白球的概率。
   • 预估用时：8分钟

拓展作业（选做）：

1. 同时掷三枚质地均匀的骰子，求三枚骰子点数之和为5的概率。要求先判断是否适合用列表法，再画出树状图并写出完整计算过程。
   • 预估用时：10分钟

合计预估时长：18 分钟（符合双减要求：书面作业≤90分钟/天含所有科目合计）

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核心公式与定理速查表

序号	公式/定理名称	LaTeX 表达式	适用范围
01	概率的基本公式	$$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能结果总数}$$	所有等可能随机试验
02	树状图总结果数（放回且独立）	$$总结果数 = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$$	放回、各步独立，每步分支数为 $n_i$
03	树状图检查公式	$$第m层节点数 = 第m-1层节点数 \times 每节点在m层分支数$$	树状图过程自检
04	不放回时总结果数	不能简单相乘，需逐层按剩余数量画分支	不放回、抽样问题
05	两步试验列表法与树状图等价性	列表法 $m\times n$ 格 = 树状图 $m$ 支×$n$ 支	两步试验均可使用

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教学反思模板（课后填写）

1. 目标达成情况：（学生是否达到“理解”层级目标——能用自己的话解释树状图画法、能举例说明放回不放回区别）
2. 学生参与情况：（中等生是否能独立完成两步树状图？学困生是否在互查中找到了漏分支？优等生对三步问题的掌握情况？）
3. 教学调整记录：（对比预设与课堂实际，哪些环节需要增减时间？错误辨析是否覆盖了学生真实错误？）
4. 下节课改进方向：（如：增加“同时掷两枚硬币”与“分先后掷两枚硬币”的对比，深化有序与无序理解；或者增加“树状图与概率乘法公式”的联系）

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本教案由 BestTeach AI 辅助生成，依据《人工智能生成合成内容标识办法》（国信办〔2025〕第3号）第 5 条标识。教师应独立审核修改后使用。