锐角的余弦、正切教案

课程名称	课时安排	教学类型	授课对象
数学·锐角的余弦、正切	45分钟	新授课	九年级（初三）·普通城市校学生

教材版本	授课教师	教学主题	课标依据
（未指定）	__________	在直角三角形中理解余弦与正切概念，为三角函数学习奠基	《义务教育数学课程标准(2022年版)》对应素养：几何直观、运算能力、符号意识

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一、教材分析

本课“锐角的余弦、正切”是初中数学“锐角三角函数”单元的核心内容之一。在教材的知识体系中，学生已经学习了“相似三角形”和“勾股定理”，掌握了直角三角形三边关系和比例线段的基本思想。同时，学生在本单元的前一课时已经学习了“锐角的正弦”，理解了“当锐角固定时，其对边与斜边的比值是一个定值”这一核心原理。本课是这一思想的自然延伸与深化——从“对边与斜边的比”拓展到“邻边与斜边的比”（余弦）和“对边与邻边的比”（正切），使学生对直角三角形中边角关系的认识从“单一比值”发展为“多种比值的系统性理解”。

从知识衔接角度看，本课起着承上启下的关键作用。“承上”是指本课承接相似三角形中“对应边成比例”的性质，将比例思想具体化到三角函数定义中；“启下”是指余弦和正切概念的建立，为后续学习“特殊角的三角函数值”（30°、45°、60°）、“解直角三角形”以及高中阶段的“任意角三角函数”奠定基础。从学科核心素养培养来看，本课是发展学生几何直观（通过图形理解比值随角度变化）、运算能力（准确识别边并代入计算）和符号意识（理解 $\cos A$、$\tan A$ 作为新数学符号的含义）的绝佳载体。

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二、学情分析

已有知识基础： 九年级学生已经熟练掌握了直角三角形的边角关系（勾股定理）、相似三角形的性质，并在前序课时学习了“锐角的正弦”概念，知道 $\sin A = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$。学生已经初步具备“通过特殊角（如30°、45°）的直角三角形三边比例关系计算比值”的操作经验。这些为本课学习余弦和正切提供了必要的认知脚手架。

可能遇到的障碍： 对于普通城市校的九年级学生，尤其是中等生群体，主要困难集中在三个方面。

第一，“邻边”的识别障碍。学生已经习惯了“对边”的概念（角的对边是唯一的），但在余弦和正切中，“邻边”的识别依赖参照角——同一个三角形中，$\angle A$ 的邻边与 $\angle B$ 的邻边完全不同。学生容易在计算时混淆“对边”和“邻边”，或者面对一个三角形不知道从哪个角看向哪条边（“看角定边”的能力尚未建立）。例如，在 Rt△ABC 中，$\angle C = 90^\circ$，求 $\cos A$，学生可能误将 $BC$ 当作邻边（实际上是 $\angle A$ 的对边）或将 $BC$ 当作 $\angle A$ 的邻边（实际上邻边是 $AC$）。

第二，“比值只与角有关”的抽象理解障碍。学生虽然在前一节课中学习了正弦的类似性质，但从“记忆”层面到“理解”层面转化存在困难。具体表现为：学生能复述“锐角三角函数值只与角的大小有关”，但在做题时仍然会根据三角形大小的变化来猜测比值的变化（例如认为三角形画大了，$\cos 30^\circ$ 也会变大）。这一困难的根源在于学生未能将“比值”与“相似三角形中比例不变”的原理进行深度联结。

第三，正切与余弦定义中“边”的角色容易混淆。学生刚学完正弦（对边/斜边），现在又学余弦（邻边/斜边）和正切（对边/邻边），三条定义涉及“对边”、“邻边”、“斜边”三个概念的不同组合，记忆负荷较大。学生常见的错误是将 $\tan A$ 记为“邻边/对边”（倒置），或将 $\cos A$ 与 $\sin A$ 完全混淆。

基于以上学情，教学中需要做到：在“邻边”概念上放慢节奏，配合图形反复强调“看角定边”；在“比值不变”性质上通过两幅不同大小的 30° 直角三角形进行板书验证；在定义辨析上采用“对比表”帮助学生建立结构化的记忆。

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三、教学目标（核心素养导向）

1. 【对应核心素养：符号意识】 通过对比直角三角形中锐角固定时邻边与斜边比值、对边与邻边比值不变的探究过程，学生能用自己的话解释 $\cos A$ 和 $\tan A$ 两个符号的含义，并正确说出“余弦等于邻边比斜边、正切等于对边比邻边”的定义。（达成标志：学生能口头复述定义，或写出定义式并标出各字母对应边）

2. 【对应核心素养：运算能力】 通过给定直角三角形中两边长求三角函数值的计算练习，学生能区分 $\sin A$、$\cos A$ 和 $\tan A$ 在计算中使用的不同边（对边、邻边、斜边），并正确代入数值进行计算。（达成标志：完成至少两道不同角度的计算题，结果正确且识别过程无误）

3. 【对应核心素养：几何直观】 通过在网格图中构造直角三角形并计算三角函数值的活动，学生能举例说明“锐角三角函数值只与角的大小有关，与直角三角形的大小无关”，并能利用相似三角形的性质解释这一规律。（达成标志：面对两个不同大小的含 30° 角的直角三角形，能判断并说明 $\cos 30^\circ$ 和 $\tan 30^\circ$ 相等）

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四、教学重难点

类别	要点
教学重点	① 理解余弦和正切的定义：$\cos A = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$，$\tan A = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$ ② 能在直角三角形中准确识别任意锐角的邻边、对边和斜边，并用符号表示
教学难点	① 辨析“锐角三角函数值只与锐角大小有关、与直角三角形大小无关”这一核心性质（学生易从直观感知上认为大的三角形比值更大，需通过相似三角形的原理破除这一迷思） ② 在计算中准确区分“对边”和“邻边”在不同角下的不同指向，避免混淆

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五、教学资源与准备

教师准备：

1. 多媒体课件（含：两个不同大小的含 30° 角的直角三角形，标注四条刻度；含 45° 角的直角三角形；三边分别为 3、4、5 的直角三角形；网格图若干）
2. 板书用三角板、直尺、彩色粉笔（红色标邻边，蓝色标对边，绿色标斜边）
3. 提前准备的“三角函数定义对比填空表”（A5 大小，供学生课中填写）

学生准备：

1. 复习正弦的定义：$\sin A = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$
2. 回忆相似三角形的对应边成比例的性质
3. 准备好直尺、圆规（网格作图时可能用到）

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六、教学过程（总时长 45 分钟）

环节1：创设情境（激活已有经验，引发认知需求）—— 5分钟

教师活动：

教师在黑板上画出一个 Rt△ABC，其中 $\angle C = 90^\circ$，标注顶点 A、B、C。教师用彩色粉笔标注各边：斜边 c（绿色），$\angle A$ 的对边 a（蓝色）。

教师提问1：“同学们，上节课我们学习了锐角的正弦。请大家回忆一下，在 Rt△ABC 中，$\sin A$ 的定义是什么？用边长的字母列式回答。”

（停顿，等待学生回答）

教师提问2：“非常好，$\sin A = a/c$。现在请大家思考一个问题：除了对边与斜边的比值以外，直角三角形中还有哪些边的比值是固定不变的？比如，有没有别的边的比值也随着角度的变化而变化？”

教师在图中新增“邻边”标注（红色）：“当 $\angle A$ 固定时，它旁边的那条边（不是斜边）叫 $\angle A$ 的邻边，图中就是线段 AC，我们用字母 b 表示。那么，邻边与斜边的比值 $b/c$ 会怎么样？对边与邻边的比值 $a/b$ 又会怎么样？它们是不是也像 $\sin A$ 一样，只与角的大小有关？”

（板书：$\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = ?$，$\frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = ?$）

板书设计要点：左侧板书 Rt△ABC 图形及标注；右侧板书两个探究问题。

学生活动：

预设学生1回答：“$\sin A = a/c$，其中 a 是 $\angle A$ 的对边，c 是斜边。”（大部分学生能回答）

预设学生2对教师提问2感到犹豫或困惑（思考几秒后）：“可能…邻边和斜边的比值也是固定的？”

部分学生可能直接猜测：“应该是！因为三角形是相似的，所以比值应该相等。”

教师追问：“你说的‘应该’这两个字说明还没把握，对吗？那我们就来验证一下。”

设计意图： 从学生最近发展区内的“正弦”概念出发，通过类比设问自然过渡到新比值（余弦和正切）的探究，激发认知冲突和好奇心。通过“邻边”概念的首次提出和“同样固定？”的反问，引导学生意识到余弦与正切定义的逻辑起点与正弦一致，为其后续自主构建定义做铺垫。该环节的“两个问题”板书为全课的核心探索方向。

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环节2：探究新知（经历概念/法则的形成过程）—— 15分钟

教师活动：

第1步：特例验证——探索 30° 角的比值

教师在黑板上画出一个含 30° 角的直角三角形（三边比例关系：$1:\sqrt{3}:2$），标注顶点和平行边：

• $\angle A = 30^\circ$，$\angle C = 90^\circ$
• 设最短边（对边）$BC = a = 1$
• 则邻边 $AC = b = \sqrt{3}$
• 斜边 $AB = c = 2$

教师提问1：“现在请大家计算两个比值：$\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ 和 $\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$，也就是 $b/c$ 和 $a/b$。请大家动手在草稿纸上算一算，保留根号形式。”

教师巡视，查看学生是否能正确识别邻边和对边，并补充提问：“注意：当我们说 $\angle A$ 的邻边时，是指与 $\angle A$ 相邻的那条直角边，也就是 AC。别弄错哦。”

预设学生计算：$\frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

教师板书结果：$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

第2步：特例验证——探索 45° 角的比值

教师画出含 45° 角的直角三角形（等腰直角三角形）：

• $\angle A = 45^\circ$，$\angle C = 90^\circ$
• 设直角边 $a = b = 1$
• 斜边 $c = \sqrt{2}$

教师提问2：“同样，现在请大家计算 $\angle A = 45^\circ$ 时，邻边与斜边的比值、对边与邻边的比值。”

预设学生计算：$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan 45^\circ = \frac{1}{1} = 1$。

教师板书：$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan 45^\circ = \frac{1}{1} = 1$。

第3步：验证“比值不变”——大小不同，角度相同的两个三角形

教师投影或板书画出两个不同大小的 Rt△，$\angle A$ 均为 30°，$\angle C = 90^\circ$：

• 大三角形：$BC = 2$，$AC = 2\sqrt{3}$，$AB = 4$
• 小三角形：$BC = 1$，$AC = \sqrt{3}$，$AB = 2$

教师提问3：“请计算这两个三角形中，$\angle A$ 的 $\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ 和 $\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$。它们的值有什么规律？”

预设学生发现：两个三角形的 $\cos 30^\circ$ 都等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\tan 30^\circ$ 都等于 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

教师板书推导：大三角形 $\cos 30^\circ = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，小三角形 $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以比值相等。

教师总结：“由计算可知，只要角度相同，不论三角形画多大，$\cos A$ 和 $\tan A$ 的值都不变——这就是‘锐角三角函数值只与角的大小有关，与三角形大小无关’的直观体现。为什么？因为两个三角形是相似的，对应边成比例，所以比值相等。”

第4步：符号定义

教师正式板书：

$$\cos A = \frac{\angle A \text{的邻边}}{\text{斜边}} = \frac{b}{c}$$ $$\tan A = \frac{\angle A \text{的对边}}{\angle A \text{的邻边}} = \frac{a}{b}$$

教师强调书写规范：“注意 $\cos$ 和 $\tan$ 的拼写，不要漏掉字母。而且角 A 是角的条件，必须在定义中指明。$\cos A$ 读作‘角 A 的余弦’，$\tan A$ 读作‘角 A 的正切’。”

板书设计要点： 左侧列含 30°、45° 角的直角三角形图形；中间区域板书两个比值的计算结果（$\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\frac{\sqrt{3}}{3}$、$\frac{\sqrt{2}}{2}$、1）；右侧板书符号定义公式。

学生活动：

学生先在草稿纸上独立计算 30° 角的两个比值。部分学生可能先写出“邻边”为 AC，在确认后逐步计算：$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $\frac{1}{\sqrt{3}}$。

当进行 45° 角计算时，学生能较熟练地计算：“$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$，$\tan 45^\circ = \frac{1}{1}$。”

教师追问 45° 角结果是否能化简时，学生回答：“$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 可以有理化，变成 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。”

学生尝试计算大小两个三角形的比值时，能得出结论：“两个三角形虽然大小不同，但 $\cos 30^\circ$ 都等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan 30^\circ$ 都等于 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。”

教师追问原因时，学生回答：“因为两个三角形是相似的，对应边成比例，所以比值相同。” 教师追问：“相似的根据是什么？”学生：“因为两个三角形都是直角三角形且 $\angle A = 30^\circ$，所以第三个角也相等，所以相似。”

设计意图： 通过“具体数值计算—规律发现—抽象符号定义”的递进式探究，学生亲身经历了余弦和正切概念从具体到抽象的形成过程。30° 和 45° 两个特殊角的选择兼顾了“可计算性”（数字简单）和“不同比值的对比”（$\sqrt{3}/2$、$\sqrt{3}/3$、$\sqrt{2}/2$、1 各有不同）。第3步“大小不同但角度相同”的对比实验，是为突破“比值与大小无关”的教学难点服务的——通过具体数据对比，学生能直观看到比值相等，再引用相似三角形原理加以解释，形成从感性到理性的认知闭环。最后给出符号定义，将操作经验上升为数学概念。

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环节3：变式练习（多角度巩固，防止单一思维定势）—— 10分钟

教师活动：

练习1：直接计算型

出示题目：

在 Rt△ABC 中，$\angle C = 90^\circ$，已知 $BC = 3$，$AC = 4$。（1）求 $\cos A$ 和 $\tan A$；（2）求 $\cos B$ 和 $\tan B$。

教师引导：“请先标出各顶点，再标出各边的长度。注意区别：求 $\angle A$ 的余弦时，要往 $\angle A$ 看找邻边；求 $\angle B$ 的余弦时，要往 $\angle B$ 看找邻边。”

教师板书演算：

• 先求斜边：$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$
• $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}$，$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}$
• $\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}$，$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{3}$

教师追问：“观察一下：$\tan A$ 和 $\tan B$ 是什么关系？（互为倒数）为什么？”

预设学生思考后回答：“因为 $\tan A = \frac{a}{b}$，$\tan B = \frac{b}{a}$，所以 $\tan A \cdot \tan B = 1$。”

练习2：逆向推理型

出示题目：

在 Rt△ABC 中，$\angle C = 90^\circ$，$\sin A = \frac{3}{5}$，求 $\cos A$ 和 $\tan A$。

教师引导：“这里没有直接给出边长，但 $\sin A = \frac{3}{5}$ 告诉了我们对边与斜边的比例。我们可以设参数来表示边长。”

教师板书推导：

• 设 $\angle A$ 的对边 $BC = 3k$，斜边 $AB = 5k$
• 由勾股定理，邻边 $AC = \sqrt{(5k)^2 - (3k)^2} = \sqrt{25k^2 - 9k^2} = \sqrt{16k^2} = 4k$
• 所以 $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$，$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$

教师追问：“这里 k 消掉了，说明了什么？”（学生回答：“说明 $\cos A$ 和 $\tan A$ 只与角 A 的大小有关。”）

练习3：网格构造型

出示网格图（每个小正方形边长为 1），图中已标出点 A 和点 B，且 AB 经过网格点。教师要求：“请在网格中构造一个 Rt△ACB（$\angle C = 90^\circ$），使得 $\angle A$ 的三条边都能在网格线上长度整数或简单分数。然后求 $\cos A$ 和 $\tan A$。”

（教师巡视，查看学生是否能将网格中的格点作为直角顶点，并检查计算是否正确）

板书设计要点： 左侧书写练习1的解题过程（含各边标注）；中间书写练习2的设参数过程；右侧板书练习3的网格图形。

学生活动：

练习1： 学生迅速标出图形，计算斜边 $AB = 5$。部分学生（尤其是中等生）在求 $\cos A$ 和 $\cos B$ 时，可能会出现将 $\angle A$ 的邻边误判为 $BC$ 的现象。教师巡视时发现此类错误，可以个别提醒：“看角定边——以 $\angle A$ 为参照，它相邻的直角边是 AC 还是 BC？”被提示的学生会纠正：“哦，$\angle A$ 的邻边是 AC，不是 BC。”

练习2： 学生熟悉了设参数法，能自己设 $BC = 3k$，$AB = 5k$。有学生发现 “$k$ 只是缩放因子，最后会消掉”。也有学生在开根号时忘记写正号，教师提醒后自行纠正。

练习3： 学生在网格上先确定直角顶点 C（使 AC 和 BC 长度都能落在网格线上），然后计算边长，再求三角函数值。个别学生 $\tan A$ 计算正确但忘记化简分数。教师提示：“结果要写成最简分数或带根号的形式。”

设计意图： 三组练习逐步递进：练习1直接从边长求三角函数值，是最直接的应用；练习2从已知一个函数值逆向推导其他值，训练学生对比例关系的理解和参数化思想（此方法为后续高中三角恒等变换埋下伏笔）；练习3网格构造题打破了“三角形必须给出标准图形”的习惯思维，训练学生通过构造来求三角函数值，同时渗透了“三角函数的自变量是角”的数学本质——即使没有现成的三角形，也可以构造。

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环节4：错误辨析（针对本节课典型易错点）—— 5分钟

教师活动：

教师投影或板书三个易错示例，请学生判断对错并说明理由：

错例1： 在 Rt△ABC 中，$\angle C = 90^\circ$，$BC = 3$，$AC = 4$，一位同学写道：“$\tan A = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{3}$”。

教师提问：“这位同学写的 $\tan A$ 正确吗？如果不对，错在哪里？正确的应该是什么？”

板书： 旁边写出正确的 $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}$。

错例2： 图中是一个非直角三角形，$\angle A$ 在三角形内部，$\angle B = 60^\circ$，$\angle C = 70^\circ$。一位同学写道：“$\cos A = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}$”。

教师提问：“这个等式成立吗？为什么？”

错例3： 一位同学说：“一个 30° 角的直角三角形，如果把它放大两倍，那么 $\cos 30^\circ$ 也会变大两倍。”

教师追问：“他的说法对吗？请用今天的知识解释。”

板书设计要点： 将三个错例分三列板书，每列下方留白待写正确解释。

学生活动：

错例1辨析： 大部分学生经过前面环节的练习后，能迅速识别错误并回答。预设学生回答：“不对！$\tan A$ 应该是对边比邻边，$\angle A$ 的对边是 BC = 3，邻边是 AC = 4，所以 $\tan A = \frac{3}{4}$，不是 $\frac{4}{3}$。” 教师追问：“它把 $\tan A$ 写成了什么？”学生回答：“他写成了 $\frac{\text{邻边}}{\text{对边}}$，就是比值倒过来了。”

错例2辨析： 学生陷入困惑。部分学生能指出：“余弦定义的前提是‘在直角三角形中’，这个三角形不是直角三角形，不能直接用邻边和斜边来定义余弦。” 教师追问：“那 $\cos A$ 在非直角三角形中有意义吗？”学生思考后回答：“$\cos A$ 指的是角 A 的余弦，如果只考虑角本身，可以画一个 Rt△ 来计算它的余弦，但不能在这个非直角三角形中直接用边长比。”

错例3辨析： 学生能借助本课的结论回答：“不对，因为锐角三角函数值只与角的大小有关，与直角三角形的大小无关。放大两倍后，两个三角形是相似的，对应边成比例，比值不变，所以 $\cos 30^\circ$ 还是原来的值。” 部分学生补充：“我刚才计算的时候验证过，大三角形和小三角形的 $\cos 30^\circ$ 都等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。”

设计意图： 错误辨析环节紧扣学生最易患的两个核心误区：“对边与邻边混淆”、“比值与三角形大小有关”。错例1针对定义记忆中的“倒置”错误，错例2针对“只在直角三角形中成立”的前提条件，错例3针对“比值不变性”这一核心性质。通过让学生“判错并解释”，比单纯记忆公式更能深化概念理解。同时，三个错例难度层次分明：错例1较基础（符号混淆），错例2中等（前提条件），错例3较难（核心性质解释），能照顾不同层次学生的水平。

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环节5：总结提升（建构知识结构，梳理思想方法）—— 5分钟

教师活动：

教师引导学生回顾本课所学，用表格或结构图总结 $\sin A$、$\cos A$、$\tan A$ 的定义和关系。

教师板书出一张对比表框架，学生帮助填充：

名称	符号	定义（文字）	定义（字母，Rt△ABC，$\angle C = 90^\circ$）
正弦	$\sin A$	对边比斜边	$\sin A = \frac{a}{c}$
余弦	$\cos A$	邻边比斜边	$\cos A = \frac{b}{c}$
正切	$\tan A$	对边比邻边	$\tan A = \frac{a}{b}$

教师提问1：“观察上表，$\sin A$ 和 $\cos A$ 有什么共同点？又有什么不同？”

（引导学生回答：共同点是都有斜边做分母；不同点是分子分别是对边和邻边。）

教师提问2：“$\tan A$ 和 $\sin A$、$\cos A$ 有什么联系？我们能否从 $\sin A$ 和 $\cos A$ 推导出 $\tan A$？”

引导学生发现（或由教师直接给出）：

$$\tan A = \frac{a}{b} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{\sin A}{\cos A}$$

教师总结：“非常好！这说明三个三角函数不是孤立的三个定义，它们之间存在内在的联系。这个关系式 $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ 在今后的学习中会非常有用。请注意：这里的推导用到了我们之前求比值时所用的边长关系，这是‘数形结合’思想的一个体现——通过图形中的线段比例关系，找到数值运算中的等式。”

板书设计要点： 中央板书上述对比表；表格下方板书关系式 $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$；最后总结“数形结合”思想。

学生活动：

学生参与填表：“正弦是 a/c，余弦是 b/c，正切是 a/b。”

当教师提问 $\tan A$ 与 $\sin A$、$\cos A$ 的联系时，部分学生能主动发现：“刚学的 $\sin A = a/c$，$\cos A = b/c$，那么 $\frac{\sin A}{\cos A} = \frac{a/c}{b/c} = a/b = \tan A$。”

教师追问：“这说明什么？”学生回答：“说明三个函数之间可以互相推导，只要知道其中两个，就能求出第三个。” 部分学生感叹：“原来它们有这种关系！”（体现出认知结构的建立）

设计意图： “总结提升”环节采用“对比表+关系推导”的教学策略，将本课所学的新概念（余弦、正切）与已有概念（正弦）放在统一的框架下对比，帮助学生形成结构化的知识网络。通过引导学生发现 $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$，不仅加深了对三个三角函数之间关系的理解，更渗透了“数形结合”和“函数关系”的数学思想，为后续学习同角三角函数关系式打下基础。同时，该环节也为学生提供了“用自己的话总结”的机会，正是“理解”层级目标的达成标志之一。

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环节6：作业设计（分层布置，控制时长）—— 5分钟

教师活动：

教师投影或板书作业内容，并逐题简要说明。

基础作业（必做）：

题1： 在 Rt△ABC 中，$\angle C = 90^\circ$，$\angle A = 30^\circ$，斜边 $AB = 10$。请先标出三边长度关系，再求 $\cos A$ 和 $\tan A$ 的值。

教师提示：“上节课我们学过 $30^\circ$ 角直角三角形三边的比例关系，你可以直接使用，也可以从 $30^\circ$ 角所对直角边是斜边的一半出发推导。”

题2： 在 Rt△ABC 中，$\angle C = 90^\circ$，$AB = 13$，$BC = 5$，求 $\cos A$ 和 $\tan A$ 的值。

教师提示：“先用勾股定理求出 AC，再根据定义代入。”

拓展作业（选做）：

题3： 在 Rt△ABC 中，$\angle C = 90^\circ$，$\tan A = \frac{3}{4}$，$BC = 6$，求 $AC$、$AB$ 的长以及 $\sin A$、$\cos A$ 的值。

教师提示：“题3比较有挑战性，给出了正切值，你能从中找到对边与邻边的比例关系吗？用设参数法可以求解。”

教师在布置作业时提醒：“回家后，请跟你的同桌或家长解释一下今天学的内容——什么是 $\cos A$，什么是 $\tan A$，以及它们与 $\sin A$ 的区别。看谁解释得最清楚。”（呼应评价方式的“解释给同伴听”）

板书设计要点： 板书基础作业题号与关键条件（如 $AB=13$、$BC=5$）；板书拓展作业题号与关键提示（如“设参数法”）。

学生活动：

学生在课堂最后几分钟记录作业，部分学生提出疑问：“题1中斜边是 10，可以直接套用 $30^\circ$ 角的比值吗？”教师回应：“是的，因为 $\cos 30^\circ$ 和 $\tan 30^\circ$ 我们已经推导过了，可以直接使用结果。”

也有学生追问：“拓展题如果不知道设参数有没有其他方法？”教师回应：“设参数法是最简洁的，当然你也可以设 $AC = 4k$、$BC = 3k$，然后利用已知条件求 k。”

设计意图： 作业设计严格遵循分层理念：基础题（题1、2）侧重定义理解和直接计算，覆盖本节课的教学重点；拓展题（题3）需要逆向思维和参数法，适合学有余力的学生挑战。同时，教师特别布置了“向同伴解释概念”的口头作业，鼓励学生用自己的语言复述、概括，这是“理解”层级目标的重要评价方式。总用时控制在 15 分钟以内，符合双减政策对书面作业总量的要求。

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七、板书设计

板书区域	内容要点
中央主题	锐角的余弦、正切
左分支（情境导入）	Rt△ABC（$\angle C = 90^\circ$）图形 标注：对边 a（蓝）、邻边 b（红）、斜边 c（绿） 问题：其他比值不变？
中左分支（探究成果）	30° Rt：$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 45° Rt：$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan 45^\circ = 1$ 规律：比值只与角度有关（相似三角形→对应边成比例）
中右分支（符号定义）	$\cos A = \frac{\angle A\text{的邻边}}{\text{斜边}} = \frac{b}{c}$ $\tan A = \frac{\angle A\text{的对边}}{\angle A\text{的邻边}} = \frac{a}{b}$ 注意：$\cos$ 与 $\sin$、$\tan$ 的区别
下方例题	例1：$a=3, b=4$ → $\cos A = \frac{4}{5}$，$\tan A = \frac{3}{4}$ 例2：$\sin A = \frac{3}{5}$ → $\cos A = \frac{4}{5}$（勾股定理+参数法）
错误辨析栏	错例1：$\tan A$ 写反（对边与邻边互换） → 看角定边 错例2：非 Rt△ 中直接用余弦定义 → 前提是 Rt△ 错例3：扩大三角形 $\cos$ 值变大 → 比值不变
总结栏	$\sin A = a/c$，$\cos A = b/c$，$\tan A = a/b$ 关系式：$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$（数形结合·函数思想）

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八、作业设计

基础作业（必做）：

1. 在 Rt△ABC 中，$\angle C = 90^\circ$，$\angle A = 30^\circ$，斜边 $AB = 10$。请标出三边长度，并求 $\cos A$ 和 $\tan A$ 的值。

解答提示： 由 30° 角的直角三角形性质得：$BC = \frac{1}{2}AB = 5$，$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$。所以 $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

（预估用时：5 分钟）

2. 在 Rt△ABC 中，$\angle C = 90^\circ$，$AB = 13$，$BC = 5$，求 $\cos A$ 和 $\tan A$ 的值。

解答提示： $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$。所以 $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13}$，$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{12}$。

（预估用时：5 分钟）

拓展作业（选做）：

3. 在 Rt△ABC 中，$\angle C = 90^\circ$，$\tan A = \frac{3}{4}$，$BC = 6$，求 $AC$、$AB$ 的长以及 $\sin A$、$\cos A$ 的值。

解答提示： $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}$，所以 $AC = \frac{4}{3} \times BC = \frac{4}{3} \times 6 = 8$。$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。因此 $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。

（预估用时：5 分钟）

合计预估时长：15 分钟（符合双减政策）

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核心公式与定理速查表

序号	公式/定理名称	LaTeX 表达式	适用范围
01	余弦定义	$\cos A = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$	直角三角形，已知一个锐角与两边长
02	正切定义	$\tan A = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$	直角三角形，已知一个锐角与两边长
03	正弦定义（回顾）	$\sin A = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$	直角三角形，已知一个锐角与两边长
04	三角函数关系式	$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$	同角三角函数互化
05	30° 特殊角	$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$	30° 角的直角三角形
06	45° 特殊角	$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan 45^\circ = 1$	45° 角的直角三角形
07	勾股定理（辅助）	$a^2 + b^2 = c^2$（$c$ 为斜边）	直角三角形中求第三边
08	比值不变性定理	锐角三角函数值只与角度有关，与三角形大小无关	任意锐角三角函数问题，相似三角形

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教学反思模板（课后填写）

1. 目标达成情况： 学生在课堂互动中的回答、练习中的计算以及辨析环节的判断，能基本反映“理解”层级目标的达成度：多数学生能解释 $\cos A$ 和 $\tan A$ 的定义并正确代入计算。需关注的是“比值不变性”的解释是否完全内化（建议课后批改作业时筛查）。
2. 学生参与情况： 普通城市校中等生主体在计算练习和错例辨析环节较为活跃；少数后进生在第2步（45°角比值）和法参数法（拓展题）中表现出吃力。建议将“邻边识别”作为后续复习课的重点。
3. 教学调整记录： （此处留空供教师课上填写）
4. 下节课改进方向： 增加“网格构造”环节的实物投影演示，帮助学生直观理解构造直角的方法。

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本教案由 BestTeach AI 辅助生成，依据《人工智能生成合成内容标识办法》（国信办〔2025〕第3号）第 5 条标识。教师应独立审核修改后使用。